Отрезок. Линейка

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки задают начало и конец рассматриваемой части, а все точки между ними тоже входят в отрезок. Поэтому отрезок можно начертить и измерить, в отличие от всей прямой.

Концы отрезка — две точки, которые ограничивают его и принадлежат ему. Их обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например A и B. По концам можно точно назвать отрезок и отличить его от других частей чертежа.

Длина отрезка — расстояние между его концами. Её выражают числом и единицей измерения, например 7 см или 7 см 2 мм. Единица показывает, какой именно меркой измеряли расстояние, поэтому одной записи числа недостаточно.

Линейка — инструмент с делениями, с помощью которого проводят отрезки и измеряют их длину. Деления помогают откладывать одинаковые единицы расстояния. С линейкой можно проверить, соответствует ли построенный отрезок заданной длине.

Как это устроено

Чтобы задать отрезок, нужны две точки: они указывают, где выбранная часть прямой начинается и где заканчивается. Между этими точками отрезок включает все точки прямой, а за ними уже не продолжается. У прямой, напротив, нет ограничивающих точек: она уходит дальше в обе стороны. Поэтому прямую нельзя целиком поместить на листе, а отрезок можно изобразить и измерить.

Отрезок называют по двум его концам: если они обозначены A и B, пишут AB или BA. Буквы сообщают, какие именно точки ограничивают отрезок, а не задают направление движения по нему. Перестановка букв не переносит концы и не меняет расстояние между ними. Это удобно, когда один и тот же отрезок описывают в разных задачах.

Штрихи на линейке разделяют её шкалу на равные промежутки. Если между соседними длинными штрихами один сантиметр, промежутки внутри него могут обозначать миллиметры, и тогда каждый такой промежуток равен 1 мм. Шкала позволяет сопоставить расстояние между концами отрезка с известными единицами. Полученное число нужно связывать с единицей: например, 4 см — это сорок миллиметров, а не просто число 4.

Перед измерением совмести нулевое деление с одним концом отрезка, а сам отрезок расположи вдоль шкалы. Посмотри, у какого деления находится второй конец, и прочитай результат с подходящей точностью. Отсчёт начинают именно от нуля, потому что длина — это расстояние от начала до конца. Если начать от другого деления, нужно вычесть начальное показание из конечного.

Положение отрезка на странице не влияет на расстояние между его концами: его можно повернуть или передвинуть, не растягивая и не укорачивая. Поэтому длины сравнивают по измерениям, а не по тому, как отрезки расположены на рисунке. Измерь каждый отрезок одной и той же линейкой и вырази результаты в одинаковых единицах. Если числа совпали, отрезки равны по длине; если нет, больше тот, у которого длина больше.

Отрезок и действия с ним

Сначала найди в таблице нужный объект или действие, затем используй правило из правого столбца. При построении проверь, что отложил нужное число единиц, а при измерении запиши результат с единицей. Если нужно сравнить длины, переведи их в одинаковые единицы.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте точки A и B и проведите отрезок с концами в этих точках. Запишите его обозначение. Здесь задано, где должны находиться концы, поэтому достаточно соединить точки прямой линией и назвать полученную часть прямой.

1. Поставь две точки на листе и подпиши их заглавными буквами A и B.
2. Приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведи линию только от A до B.
3. Запиши обозначение по концам: AB. Перестановка букв даёт другое допустимое обозначение того же отрезка — BA.

Ответ: отрезок AB (или BA).

Задача 2. Измерьте линейкой отрезок CD, изображённый в учебнике, и запишите длину в сантиметрах. Значение нельзя определить без самого чертежа, поэтому измерение нужно выполнить на изображённом отрезке. Главная часть решения — правильно выбрать начало отсчёта.

1. Положи линейку вдоль CD и совмести конец C с отметкой 0, а не просто с краем линейки.
2. Найди штрих, возле которого расположен конец D. Считай расстояние по промежуткам шкалы от нуля до этого штриха.
3. Запиши результат с единицей измерения. Если конец D стоит, например, у отметки 5 см, длина CD равна 5 см; свой результат считай по фактическому чертежу.

Ответ: длина CD равна показанию линейки у конца D; число нужно записать в сантиметрах.

Задача 3. Постройте отрезок длиной 6 см 4 мм и отметьте на нём точку E так, чтобы части имели длины 2 см 5 мм и 3 см 9 мм. Перед построением удобно выразить все величины в миллиметрах. Так можно проверить, что две части вместе составят целый отрезок.

1. Переведи длины: 6 см 4 мм = 64 мм, 2 см 5 мм = 25 мм, 3 см 9 мм = 39 мм.
2. Проведи прямой отрезок длиной 64 мм: совмести его начало с нулём линейки и отметь точку у деления 64 мм.
3. От начала отложи 25 мм и поставь точку E. Проверь вторую часть: 64 мм − 25 мм = 39 мм, как и требуется.

Ответ: построй отрезок 64 мм, а точку E отметь в 25 мм от его начала; части равны 25 мм и 39 мм.

Типичные ошибки

Принимать всю прямую за отрезок. Так бывает, когда на рисунке видна только небольшая часть прямой и кажется, что линия заканчивается у её краёв. Но концы отрезка специально обозначают точками, а прямая за пределами рисунка продолжается в обе стороны. Проверь себя: если у объекта есть два заданных конца, это отрезок, а не вся прямая.

Начинать измерение от края линейки. Край может быть повреждён или не совпадать с нулевой отметкой, поэтому результат окажется смещённым. Ошибку допускают, когда принимают край инструмента за начало шкалы. Найди деление 0 и совмести с ним конец отрезка; если это невозможно, вычти начальное показание из конечного.

Считать штрихи вместо промежутков. Штрихи лишь отмечают границы делений, а длину задаёт расстояние между отметками. При счёте самих штрихов можно получить число на единицу больше или меньше. Проверь себя на сантиметре: между отметками 0 и 1 см десять миллиметровых промежутков, и отсчёт идёт именно по ним.

Записывать длину без единицы или смешивать сантиметры с миллиметрами. Число без единицы не сообщает, какой длине оно соответствует, а складывать несогласованные записи неудобно. Такая ошибка возникает, если забыть указать единицу или начать вычисление до перевода величин. При проверке запиши все длины в сантиметрах либо в миллиметрах и добавь единицу к ответу.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужно уметь обозначать точки заглавными буквами и знать единицы длины, например сантиметр и миллиметр. Полезно помнить, что 1 см = 10 мм: это помогает точно измерять и строить небольшие отрезки. Эти знания позволяют читать чертежи и записывать результаты без путаницы.

Построение и измерение отрезков пригодятся при изучении геометрических фигур: стороны фигур тоже являются отрезками. По длинам сторон находят периметр — сумму длин границы фигуры. На координатной прямой отрезки помогают изображать промежутки и расстояния между числами.

Что запомнить

• Отрезок ограничен двумя концами.
• Отрезок обозначают буквами его концов.
• Порядок букв в обозначении отрезка не меняет его длину.
• Длину отрезка измеряют линейкой от нулевого деления.
• Длину записывают вместе с единицей измерения.
• Равные отрезки имеют одинаковую длину.