Арифметические действия

Определения и обозначения

Сложение — действие, которое объединяет количества; числа называют слагаемыми, а результат — суммой. Запись a + b показывает, какие два количества соединяют. Это действие помогает узнать общий результат, например общее число предметов в двух группах.

Вычитание — действие, которое показывает, на сколько одно число больше другого или сколько осталось; результат называют разностью, числа — уменьшаемым и вычитаемым. В записи a − b число a — уменьшаемое, а b — вычитаемое. Вычитание помогает сравнивать количества и находить остаток после того, как часть убрали.

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых; числа называют множителями, а результат — произведением. Запись a · b короче показывает повторение одного и того же количества. Она удобна, когда одинаковые группы нужно посчитать вместе.

Деление — действие, обратное умножению; результат называют частным, а числа — делимым и делителем. В записи a : b число a делят на b. Деление помогает распределить количество поровну или узнать, сколько раз одна величина содержится в другой.

Как это устроено

При сложении мы соединяем две группы и считаем предметы в получившейся общей группе. Поэтому в записи a + b каждое число отвечает за количество предметов в одной из исходных групп, а сумма показывает их общее число. Например, если к 3 красным карандашам добавить 4 синих, станет 7 карандашей. Смысл действия сохраняется и при сложении чисел, не связанных с предметами.

Вычитание связано со сложением, потому что оно помогает восстановить целое по известной части и оставшейся части. Если из уменьшаемого вычесть известное количество, мы находим то, что осталось. Проверка показывает ту же связь в обратном направлении: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Например, 12 − 5 = 7 проверяется равенством 7 + 5 = 12.

Умножение удобно, когда складывают одинаковые слагаемые: вместо длинной записи можно записать количество групп и число предметов в каждой. Допустим, есть 4 тарелки, на каждой лежит по 3 яблока. Всего яблок столько же, сколько в сумме 3 + 3 + 3 + 3, то есть 3 · 4 = 12. Множители описывают равные группы, а произведение показывает общее количество предметов.

Деление решает две похожие задачи: как поровну распределить количество и сколько раз одна величина помещается в другой. Если 12 яблок разделить между 4 тарелками поровну, получим по 3 яблока; если раскладывать по 3 яблока, понадобится 4 тарелки. Деление проверяют умножением частного на делитель: результат должен совпасть с делимым. Так можно обнаружить ошибку в вычислении.

При делении натуральных чисел результат не всегда получается целым числом. Например, если 53 предмета распределить поровну между 6 группами, можно выдать каждой группе по 8 предметов, а 5 оставить. Запись 53 = 6 · 8 + 5 показывает результат деления с остатком. Остаток должен быть меньше делителя: если предметов осталось не меньше 6, можно выдать ещё по одному и продолжить деление.

Арифметические действия и их компоненты

Сначала найдите в таблице нужное действие, затем посмотрите, как называются числа в его записи и результат. Это помогает точно формулировать решение и не путать, например, слагаемые с множителями. Буквы a и b обозначают числа, которые могут принимать разные значения.

Разбор задач

Вычислите 28 + 17 и назовите компоненты действия. Здесь нужно объединить два количества, поэтому выполняем сложение. Чтобы не ошибиться, можно сначала прибавить десяток, а затем оставшиеся единицы. После вычисления соотносим числа и результат с названиями компонентов.

1. Запишем выражение: 28 + 17.
2. Разложим второе слагаемое на удобные части: 17 = 10 + 7.
3. Прибавим сначала 10: 28 + 10 = 38, затем 7: 38 + 7 = 45.
4. В выражении 28 и 17 — слагаемые, а 45 — сумма.

Ответ: 45; слагаемые — 28 и 17, сумма — 45. Разбиение числа 17 на десяток и единицы не меняет значение выражения. Оно лишь помогает выполнять вычисления по шагам. Названия компонентов можно определить по самому знаку действия.

Вычислите 84 − 36 и проверьте результат обратным действием. Здесь требуется узнать, сколько останется после того, как из 84 уберут 36. Удобно сначала вычесть 30, а затем 6. Проверка сложением покажет, верно ли найдено уменьшаемое.

1. Запишем выражение: 84 − 36.
2. Вычтем 30: 84 − 30 = 54.
3. Вычтем оставшиеся 6: 54 − 6 = 48.
4. Проверим: 48 + 36 = 84, значит, разность найдена верно.

Ответ: 48. В исходном выражении 84 — уменьшаемое, 36 — вычитаемое, а 48 — разность. Проверка работает потому, что разность и вычитаемое вместе составляют уменьшаемое. Если при сложении получилось не 84, вычисление нужно пересмотреть.

Разложили 53 карандаша поровну в 6 коробок. Нужно узнать, сколько карандашей положили в каждую коробку и сколько осталось. Ищем наибольшее число карандашей, которое можно положить в каждую из 6 коробок одинаково, не превысив запас. Затем проверяем, что оставшиеся карандаши уже нельзя распределить по одному в каждую коробку.

1. Найдём ближайшее к 53 произведение числа 6, которое не больше 53: 6 · 8 = 48, а 6 · 9 = 54, что уже больше 53.
2. Значит, в каждую коробку можно положить по 8 карандашей.
3. Вычислим остаток: 53 − 48 = 5.
4. Проверим условие: 5 меньше делителя 6, значит, деление выполнено до конца.

Ответ: по 8 карандашей в каждую коробку, останется 5 карандашей. Проверочная запись: 53 = 6 · 8 + 5. Если бы остаток оказался равен 6 или больше, в коробки можно было бы положить ещё карандаши. Поэтому условие «остаток меньше делителя» подтверждает, что результат верен.

Типичные ошибки

При сложении и вычитании иногда называют все числа слагаемыми. Так происходит, когда запоминают название только одного действия и переносят его на остальные. Проверьте себя по знаку: у вычитания есть уменьшаемое и вычитаемое, а её результат — разность.

Вычитание и деление нельзя менять местами, как иногда пытаются сделать со сложением и умножением. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 не даёт того же результата; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 — другое число. Проверяйте перестановку на простых числах: если результат изменился, порядок компонентов важен.

Деление на ноль не определено, хотя ноль встречается среди других чисел. Можно ошибочно решить, что у нуля есть частное, но при проверке умножением это не сработает: любое число, умноженное на ноль, даёт 0. Если делитель равен нулю, вычисление выполнить нельзя.

При делении с остатком иногда записывают остаток, равный делителю или больший него. Такой остаток означает, что деление ещё можно продолжить: из него получится выделить ещё одну группу размером с делитель. Проверьте результат условием: остаток неотрицательный и строго меньше делителя.

Связь с другими темами

Чтобы выполнять арифметические действия, нужно уметь считать и понимать запись натуральных чисел. Разряды числа помогают разбирать его на десятки, единицы и другие части, а это делает устные и письменные вычисления понятнее. Знание компонентов позволяет точно записывать ход решения.

Арифметические действия нужны при вычислении значений выражений, решении уравнений и текстовых задач. В выражении они помогают найти результат по заданному порядку действий, а в уравнении — подобрать неизвестное число. В задачах выбор действия зависит от того, что происходит с количеством: оно объединяется, уменьшается, повторяется или распределяется.

Что запомнить

• Сложение объединяет количества; его результат — сумма.
• Вычитание проверяют сложением.
• Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых.
• Деление проверяют умножением.
• На ноль делить нельзя.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.