Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — простейшая геометрическая фигура, которая показывает определённое место. На чертеже её обычно изображают маленькой отметкой и обозначают заглавной латинской буквой: A, B или C. Такое обозначение помогает точно назвать нужное место, даже если рядом расположены другие точки.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. На чертеже её показывают частью линии, подразумевая, что она продолжается в обе стороны; прямую можно назвать по двум лежащим на ней точкам, например прямой MN. Две точки позволяют задать единственную прямую, поэтому по ним можно однозначно описать её положение.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают буквами его концов: AB или BA. Такое обозначение сразу показывает, где участок начинается и где заканчивается.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла; например, у угла AOB вершина O, стороны OA и OB. Знание вершины и сторон помогает отличить один угол от другого на сложном чертеже.

Как это устроено

Геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек, то есть как совокупность мест на плоскости. Поэтому даже одна точка уже является фигурой, а прямая или отрезок тоже состоят из точек. Если несколько линий соединить, получится более сложная фигура, например контур треугольника; такой взгляд позволяет описывать и простые, и составные формы одним языком.

Прямую можно продолжать в обе стороны, потому что у неё нет выделенных крайних точек. На рисунке невозможно изобразить бесконечную линию целиком, поэтому мы проводим лишь её часть и мысленно продолжаем за края. Если отметить на прямой точки M и N, они зададут её; участок между ними будет отрезком MN, а дополнительные точки помогут разделить этот участок на меньшие отрезки.

Луч начинается в одной точке и идёт дальше только в одном направлении. Его начало ограничено, но противоположного конца нет, поэтому на чертеже обычно отмечают начальную точку и показывают направление продолжения. Если взять два луча с общим началом, они образуют угол: общая точка становится вершиной, а лучи — сторонами.

Угол определяется тем, как направлены его стороны относительно общей вершины, а не тем, насколько длинными нарисованы лучи. Представь два луча и мысленно продли каждый из них: направление останется прежним, даже если провести линии длиннее. Значит, можно удлинить или укоротить изображённые стороны, не изменяя сам угол; меняется только размер рисунка.

Фигуры можно изображать чертежом и описывать словами, называя точки и части линии. Например, фраза «точка C лежит на отрезке AB» указывает положение C, а запись «угол AOB» называет вершину и стороны. Такое описание помогает распознавать части сложной фигуры и строить новые: сначала отмечают точки, затем проводят прямые, отрезки или лучи и уточняют их взаимное расположение.

Основные геометрические фигуры

Пользуйся таблицей, чтобы сравнивать фигуры по наличию начала и концов. Сначала выясни, какие точки ограничивают фигуру, а затем выбери её обозначение. Для угла отдельно проверь, что общая вершина указана средней буквой.

Разбор задач

Точки A, B и C

Задача. Отметь на рисунке три точки и обозначь их буквами A, B и C. Нужно изобразить три отдельных места и подписать каждое заглавной латинской буквой. Порядок расположения точек на рисунке не задан, поэтому можно выбрать его самостоятельно.

1. Наметь три небольшие отметки в разных местах рисунка.
2. Рядом с первой отметкой напиши A, со второй — B, с третьей — C.
3. Проверь, что буквы заглавные и каждая стоит около своей точки, а не обозначает отдельный участок рисунка.

Ответ. На рисунке отмечены три точки A, B и C.

Прямая и отрезки MN

Задача. Проведи прямую через точки M и N, отметь на ней точку K и назови получившиеся отрезки. Точка K может лежать между M и N или вне участка MN, поэтому полезно сначала посмотреть на её положение. При любом расположении названия участков составляются по парам соседних отмеченных точек.

1. Проведи линию через M и N и продолжи её на чертеже в обе стороны: это прямая MN.
2. Отметь на прямой точку K. Если K находится между M и N, соседними точками будут M и K, а также K и N.
3. Назови отрезки между соседними точками: MK и KN. Если K лежит за пределами MN, соседними будут точки, между которыми расположена K, и отрезки нужно назвать соответственно их положениям.

Ответ. Когда K лежит между M и N, получаются отрезки MK и KN, а весь отрезок MN включает оба участка. Если расположение K другое, названия отрезков определяют по соседним точкам на прямой.

Углы с вершиной O

Задача. Построй угол с вершиной O и сторонами OA и OB. На стороне OA отметь точку C, а на стороне OB — точку D; назови углы на чертеже. Точки C и D лежат на уже существующих сторонах, поэтому сами по себе не создают новых направлений лучей. Они дают дополнительные названия тем же сторонам.

1. Отметь точку O и проведи из неё два луча в разных направлениях, обозначив на них точки A и B.
2. Поставь C на луче OA, а D — на луче OB. Получившиеся лучи OC и OD совпадают соответственно с OA и OB.
3. Назови угол по вершине и выбранным точкам на сторонах. Можно записать угол AOB, а также углы AOD, COB и COD: у всех вершина O, а стороны лежат на тех же двух лучах.

Ответ. На чертеже обозначаются углы AOB, AOD, COB и COD; каждый из них образован теми же двумя направлениями с вершиной O.

Типичные ошибки

Прямую иногда рисуют коротким отрезком и считают, что она заканчивается на краях рисунка. Так происходит потому, что на листе нельзя показать бесконечную линию целиком. Проверь себя: у прямой не отмечают концы, а её изображение мысленно продолжается в обе стороны.

Прямую, отрезок и луч путают, потому что все три фигуры на чертеже выглядят как линии. Различай их по границам: прямая не имеет концов, у отрезка два конца, у луча — одно начало и одно направление продолжения. Перед обозначением спроси себя, какие точки ограничивают изображённую часть.

Точку могут обозначить строчной буквой или назвать по месту, например «верхняя». Это неточно: расположение может измениться, а одинаковых мест на разных чертежах много. Проверяй, что у точки есть собственная заглавная латинская буква, например A или M.

Угол считают другим, когда его стороны нарисованы длиннее или короче. Ошибка возникает из-за того, что большой рисунок кажется более широким или заметным. Сравни направления лучей от вершины: если они прежние, угол тот же, независимо от длины сторон.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими фигурами нужно уметь пользоваться линейкой, отмечать точки и различать линии на чертеже. Эти действия помогают аккуратно проводить прямые и отрезки и не путать нарисованную часть линии со всей фигурой. Понятия точки, прямой, отрезка, луча и угла понадобятся при изучении многоугольников, измерении длин и углов, а также при построении фигур. Например, стороны многоугольника — отрезки, а его вершины — точки.

Что запомнить

• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Длину сторон угла нельзя использовать для определения величины угла.