Урок 10. Куб

Определения и обозначения

Куб — объёмная фигура, которая является прямоугольным параллелепипедом с равными рёбрами. Иными словами, у неё три измерения, но все стороны имеют одну и ту же длину. Это определение позволяет отличить куб от других объёмных фигур и описывать его свойства.

Грань куба — квадрат, ограничивающий его поверхность. У куба шесть граней: верхняя, нижняя, передняя, задняя, левая и правая; противоположные грани не имеют общей стороны. Подсчёт граней нужен, например, чтобы найти площадь всей поверхности фигуры.

Ребро куба — отрезок, по которому пересекаются две грани. У каждой грани четыре стороны, но при подсчёте нельзя считать каждую сторону отдельным ребром дважды: каждое ребро принадлежит двум граням. Поэтому у куба 12 рёбер, и это число описывает все его стороны в пространстве.

Вершина куба — точка, в которой сходятся три ребра. Вершины находятся в углах фигуры; всего их восемь. Они нужны, чтобы обозначать точки куба и задавать отрезки между ними, например диагонали.

Как это устроено

Квадрат — плоская фигура с двумя измерениями: длиной и шириной. Если к нему добавить третье измерение, направленное перпендикулярно плоскости квадрата, получится объёмная форма; при равных длинах всех рёбер это будет куб. Его грани оказываются квадратами, потому что все их стороны равны, а углы прямые, как у граней прямоугольного параллелепипеда.

Грани, рёбра и вершины связаны тем, что образуют единую поверхность с углами. Можно представить куб как две одинаковые квадратные грани — верхнюю и нижнюю — и четыре квадратные грани между ними. На гранях есть по четыре стороны, но каждое ребро является общей стороной двух граней, поэтому число разных рёбер равно 6 · 4 : 2 = 12. В каждой вершине сходятся три ребра; всего получается восемь угловых точек, что также можно увидеть, если расположить по четыре вершины на каждом из двух квадратов.

Длину любого ребра обозначают одной буквой a, потому что все рёбра куба равны. Одного значения достаточно для вычисления размеров: оно задаёт длину и ширину каждой квадратной грани, а также высоту фигуры. Например, если a дано в сантиметрах, длины рёбер будут в сантиметрах, а площадь и объём получат соответствующие единицы.

Площадь одной грани находят по формуле площади квадрата: сторона умножается сама на себя, поэтому S₁ = a · a = a². Поверхность куба состоит из шести равных граней, значит, их площади складывают: S = 6a². Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты; у куба все три величины равны a, поэтому V = a · a · a = a³.

Диагональ грани соединяет противоположные вершины одного квадратного лица. По теореме Пифагора её квадрат равен сумме квадратов двух рёбер: d² = a² + a², откуда d = a√2. Диагональ куба проходит внутри фигуры между вершинами, не лежащими на одной грани; она образует прямоугольный треугольник с ребром и диагональю грани. Поэтому D² = a² + d² = a² + 2a² = 3a², и D = a√3.

Основные элементы и величины куба

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какая величина известна и какую требуется найти. Затем выберите подходящую строку с формулой и подставьте длину ребра вместо a. Проверьте, что единицы соответствуют величине: длины измеряются в единицах длины, площадь — в квадратных, объём — в кубических.

Разбор задач

У куба одно ребро имеет длину 5 см. Нужно назвать число граней, рёбер и вершин, а затем найти площадь одной грани. Поскольку форма уже задана, количество элементов не зависит от длины ребра. Для площади нужно применить формулу квадрата, так как каждая грань куба — квадрат.

1. Записываем известную длину: a = 5 см.
2. Вспоминаем количество элементов куба: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
3. Находим площадь одной грани: S₁ = a² = 5² = 25 см².

При возведении длины в квадрат единица тоже становится квадратной: см · см = см². Ответ: 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин; площадь одной грани — 25 см².

Ребро куба равно 4 см. Требуется площадь всей поверхности. Нельзя ограничиться площадью одного квадрата, поскольку поверхность состоит из нескольких граней. Сначала вычислим площадь одной грани, а затем учтём все шесть одинаковых частей.

1. Записываем длину ребра: a = 4 см.
2. Находим площадь одной грани: a² = 4² = 16 см².
3. Умножаем площадь грани на их количество: S = 6 · 16 = 96 см².

Ответ: площадь поверхности куба равна 96 см². Проверить решение можно, разделив общую площадь на шесть: получим 16 см² — площадь одного квадрата со стороной 4 см.

Объём куба равен 216 см³. Нужно найти длину ребра и площадь поверхности. Из объёма сначала определяем ребро: надо подобрать число, куб которого равен 216, или извлечь кубический корень. Затем найденную длину подставляем в формулу площади поверхности.

1. Записываем формулу объёма: V = a³, поэтому a = ∛V.
2. Вычисляем ребро: a = ∛216 = 6 см, так как 6³ = 216.
3. Находим площадь поверхности: S = 6a² = 6 · 6² = 6 · 36 = 216 см².

Ответ: длина ребра равна 6 см, площадь поверхности — 216 см². Размерность проверяется отдельно: корень третьей степени из см³ даёт сантиметры, а площадь выражается в см².

Типичные ошибки

Иногда считают только те грани, рёбра и вершины, которые видны на рисунке. Так происходит потому, что задние части фигуры скрыты от взгляда. Проверяйте себя, представляя куб целиком: у него три пары противоположных граней, а не только передняя, верхняя и боковая стороны.

Площадь одной квадратной грани могут принять за площадь всей поверхности. Ошибка появляется, если после вычисления a² забывают, что одинаковых граней шесть. Чтобы проверить результат, спросите себя, найдена площадь одного лица или всех внешних частей куба; для всей поверхности используйте 6a².

Формулу объёма иногда записывают как 6a², смешивая его с площадью поверхности. Причина в том, что в обеих формулах встречается квадрат ребра, но площадь поверхности складывает шесть площадей граней. Для объёма нужно перемножить три измерения: a · a · a = a³; единица ответа должна быть кубической.

Диагональ грани могут спутать с диагональю куба, потому что обе соединяют вершины и не идут вдоль ребра. Но первая целиком лежит на квадратной грани, а вторая проходит внутри фигуры. Проверяйте, где находится отрезок: для диагонали грани используют a√2, для диагонали куба — a√3.

Связь с другими темами

Для изучения куба полезно знать квадрат, площадь прямоугольника и объём прямоугольного параллелепипеда: эти понятия объясняют, как находить площадь грани и пространство внутри фигуры. Теорема Пифагора помогает вычислять диагонали. Позже формулы площади и объёма куба пригодятся при изучении других многогранников и решении задач на их поверхности и вместимость. Представление о гранях, рёбрах и вершинах также поможет работать с развёртками, пространственными диагоналями и измерять предметы кубической формы.

Что запомнить

• Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
• У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Каждая грань куба является квадратом.
• Если ребро куба равно a, площадь одной грани равна a².
• Площадь поверхности куба равна 6a².
• Объём куба равен a³.
• Длину и площадь записывают в соответствующих единицах измерения, а объём — в кубических.