Урок 11. Числовой луч

Определения и обозначения

Числовой луч — луч, на котором выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок. Эти три элемента превращают геометрическую фигуру в способ изображать числа. По числовому лучу можно строить точки и сравнивать числа.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. От неё начинают откладывать единичные отрезки. Без такой точки нельзя понять, откуда измерять расстояние до остальных точек.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу измерения. Он задаёт масштаб числового луча: например, один отрезок может быть равен 1 см. Благодаря этому расстояние переводится в число единиц.

Координата точки на числовом луче — число, показывающее, сколько единичных отрезков отделяет её от начала отсчёта. Координату записывают рядом с обозначением точки, например A(3). Она позволяет однозначно указать положение точки на луче.

Как это устроено

Одного луча недостаточно, потому что он показывает только начало и бесконечное продолжение в одну сторону. Нужно выбрать начало отсчёта, чтобы знать, от какой точки измерять расстояния. Направление и единичный отрезок нужны затем, чтобы одинаково понимать, куда откладывать числа и какого размера должны быть промежутки.

Начало луча связывают с числом 0, поскольку до него не отложено ни одного единичного отрезка. Затем в выбранном направлении располагаются точки, соответствующие положительным числам: 1, 2, 3 и так далее. Каждое следующее число получается после откладывания ещё одного такого отрезка.

Чтобы построить точку с натуральной координатой, сначала находят начало отсчёта и единичный отрезок. Затем этот отрезок последовательно откладывают в направлении луча нужное число раз. Например, для координаты 4 нужно пройти четыре одинаковых промежутка, а конец четвёртого промежутка обозначить точкой.

Координату отмеченной точки находят обратным действием: считают единичные отрезки от начала отсчёта до этой точки. Считать нужно промежутки между соседними отметками, а не сами черточки. Если до точки получилось пять одинаковых отрезков, её координата равна 5.

Чем дальше точка расположена от начала отсчёта в направлении луча, тем больше единичных отрезков до неё укладывается. Поэтому её координата больше. Например, точка с координатой 7 находится дальше и правее точки с координатой 3, если направление выбрано слева направо.

Элементы числового луча и их назначение

Таблица помогает различать элементы числового луча и не смешивать их функции. При решении задачи сначала проверьте, какой элемент задан, а затем определите, что с его помощью нужно найти.

Разбор задач

Задача 1

На луче отметили начало отсчёта и единичный отрезок. Постройте точку с координатой 4. Координата 4 означает не длину в сантиметрах, а число единичных отрезков. Поэтому размер отрезка берём именно из условия и сохраняем одинаковым.

1. Найдём начало отсчёта и определим направление луча.
2. Отложим от начала один единичный отрезок, затем второй, третий и четвёртый.
3. Конец четвёртого отрезка обозначим точкой, например A, и запишем A(4).

После четырёх одинаковых шагов точка окажется на нужном месте. Ответ: точка A(4).

Задача 2

На числовом луче единичный отрезок равен 2 см. Найдите координату точки, расположенной в 10 см от начала отсчёта. Нужно выяснить, сколько отрезков по 2 см помещается в расстоянии 10 см. Для этого расстояние делим на длину единичного отрезка.

1. Запишем расстояние до точки: 10 см.
2. Запишем длину единичного отрезка: 2 см.
3. Вычислим число единичных отрезков: 10 : 2 = 5.

До точки укладывается пять единичных отрезков, значит её координата равна 5. Ответ: 5.

Задача 3

От начала отсчёта до точки A — 3 единичных отрезка, а от A до B — ещё 5. Найдите координату B и сравните координаты точек. Путь от начала до B состоит из двух частей, поэтому их количество нужно сложить.

1. До A от начала отсчёта отложено 3 единичных отрезка.
2. От A до B добавляется ещё 5 отрезков.
3. Получаем координату B: 3 + 5 = 8.
4. Сравниваем: 8 больше 3, поэтому координата B больше координаты A.

Ответ: B(8), координата B больше координаты A; координаты равны 8 и 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любой луч числовым. Её допускают, потому что внешний вид фигур одинаков, но на обычном луче ещё не выбраны масштаб и начало отсчёта. Проверьте себя: должны быть указаны начало, направление и единичный отрезок.

Ошибка: откладывать единичные отрезки против направления луча. Так происходит, если не обратить внимания на стрелку или условный знак направления. Проверьте, что числа увеличиваются именно туда, куда направлен луч.

Ошибка: считать деления вместо промежутков между отметками. Отметка обозначает границу, а единичный отрезок находится между двумя соседними отметками. Для проверки пересчитайте расстояние от нуля до точки именно по промежуткам.

Ошибка: находить координату по длине в сантиметрах без учёта масштаба. Например, 10 см не всегда означают координату 10, если единичный отрезок длиннее 1 см. Разделите расстояние до точки на длину единичного отрезка.

Связь с другими темами

Для работы с числовым лучом нужно уметь измерять отрезки и делить их на равные части. Эти навыки помогают правильно выбрать масштаб и откладывать одинаковые единичные отрезки. Если промежутки получаются разными, координаты точек определить надёжно нельзя.

Числовой луч помогает сравнивать натуральные числа: точка, расположенная дальше по направлению луча, соответствует большему числу. Позже этот способ станет основой координатной прямой, на которой изображают не только натуральные, но и другие числа. Он также готовит к работе с координатами на плоскости.

Что запомнить

• На числовом луче выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок.
• Началу отсчёта соответствует число 0.
• Координата точки показывает число единичных отрезков от начала отсчёта до точки.
• Координату записывают рядом с обозначением точки, например A(3).
• Чем дальше точка от начала отсчёта по лучу, тем больше её координата.