Урок 10. Зачем нужны скобки

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел и знаков действий, значение которой можно найти. Например, 8 + 2 · 3 — числовое выражение. Это понятие помогает отличать запись, которую можно вычислить, от условия задачи, и понимать, что именно требуется найти.

Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения и указывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. В записи 2 · (3 + 4) скобки выделяют сумму 3 + 4. Они нужны, чтобы явно показать, какое действие считать первым.

Порядок действий — очередность, в которой выполняют действия в выражении, чтобы получить его значение. Сначала учитывают скобки, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Знание этого порядка помогает всем получить один и тот же результат.

Выражение со скобками — числовое выражение, в котором сначала находят значение действий, заключённых в скобки. Например, в выражении 18 − (6 : 2) сначала вычисляют 6 : 2. Это определение помогает не спутать действия внутри скобок с действиями, которые выполняются позже.

Как это устроено

Одна и та же последовательность чисел и знаков без скобок может давать результат, отличный от того, который получится при другом порядке вычислений. Например, в записи 8 + 2 · 3 сначала умножают 2 на 3, а затем прибавляют 8: выходит 14. Если требуется сначала сложить 8 и 2, а потом умножить сумму на 3, нужны скобки: (8 + 2) · 3 = 30. Разные результаты появляются потому, что записи задают разные действия.

Скобки особенно полезны, когда сложение нужно выполнить до умножения. По обычному правилу без скобок умножение имеет преимущество перед сложением, поэтому запись 2 · 3 + 4 означает, что сначала умножают 2 на 3. Если требуется умножить 2 на сумму 3 и 4, ставят скобки: 2 · (3 + 4). Так запись не оставляет сомнений, какую часть считать целиком.

Чтобы вычислить выражение со скобками, сначала находят значение выражения внутри них. Например, в 18 − (6 : 2) вычисляют деление: 6 : 2 = 3. Затем получают 18 − 3 = 15. Причина такого шага в том, что скобки выделяют действие, которое должно предшествовать остальным, но после него правила порядка действий продолжают действовать.

Сравним 2 · (3 + 4) и 2 · 3 + 4. В первом выражении сначала складывают числа в скобках: 3 + 4 = 7, после чего умножают 2 на 7 и получают 14. Во втором сначала умножают 2 на 3, затем прибавляют 4: получается 10. Скобки меняют не сами числа, а очередность действий, поэтому итог тоже меняется.

Скобки нужны не только для удобства чтения: они задают смысл выражения. Без них запись может обозначать не то вычисление, которое задумано, поскольку действует установленный порядок операций. Например, фраза «умножить сумму чисел на 2» требует записи 2 · (a + b), а не 2 · a + b. Проверяй, совпадает ли смысл выражения с тем, как оно записано.

Порядок действий в выражениях со скобками

Пользуйся таблицей так: сначала найди скобки и выполни указанное в них действие. Затем выполняй оставшиеся действия по обычному порядку. Подставляй полученный результат на место скобок и только после этого продолжай вычисление.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 8 + 2 · 3. Скобок в записи нет, поэтому применяем обычный порядок действий: умножение выполняется раньше сложения. Нельзя считать просто слева направо, потому что это нарушило бы правило приоритета умножения.

1. Сначала умножаем: 2 · 3 = 6.
2. Подставляем результат в выражение: 8 + 6.
3. Складываем: 8 + 6 = 14.

Ответ: 14. Результат показывает, что отсутствие скобок тоже задаёт определённый порядок вычислений. Здесь сначала выполняется умножение, а не сложение.

Задача 2. Вычислите 8 + 2 · 3 и (8 + 2) · 3. Сравните результаты. В первой записи скобок нет, поэтому умножение выполняют раньше сложения. Во второй записи скобки заставляют сначала сложить 8 и 2. Сравнивать нужно результаты обеих записей, а не только их числа.

1. Первое выражение: 2 · 3 = 6.
2. Продолжаем первое вычисление: 8 + 6 = 14.
3. Во втором выражении сначала считаем в скобках: 8 + 2 = 10.
4. Умножаем результат на 3: 10 · 3 = 30.

Ответ: 14 и 30; результаты различаются. Скобки изменили первое действие, поэтому изменилось и значение выражения. Они показывают, что во втором случае на 3 умножают всю сумму.

Задача 3. Купили 4 набора, в каждом наборе 3 тетради и 2 альбома. Сколько всего предметов купили? Сначала определим, сколько предметов входит в один набор: нужно сложить количество тетрадей и альбомов. Затем результат умножим на 4, поскольку одинаковых наборов четыре. Скобки объединят сумму, которую требуется умножить целиком.

1. Записываем число предметов в одном наборе: 3 + 2.
2. Умножаем эту сумму на число наборов: 4 · (3 + 2).
3. Вычисляем в скобках: 3 + 2 = 5.
4. Находим общее количество: 4 · 5 = 20.

Ответ: 20 предметов. Запись 4 · (3 + 2) точно передаёт условие: в каждом из четырёх наборов по пять предметов. Без скобок умножение затронуло бы только число 3, и смысл вычисления оказался бы неверным.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнить умножение до действия в скобках. Так происходит, если ученик вспоминает правило о приоритете умножения, но забывает, что скобки требуют сначала вычислить выделенную часть. Проверь себя: найди скобки и убедись, что подставил их значение до выполнения внешних действий.

Вторая ошибка — считать, что скобки не влияют на ответ. Например, 2 · (3 + 4) и 2 · 3 + 4 содержат одинаковые числа и знаки, но дают 14 и 10. Причина ошибки — внимание только к числам, а не к порядку вычислений. Для проверки сравни, какое действие выполняется первым в каждой записи.

Третья ошибка — после вычисления в скобках действовать слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Например, в 5 + 2 · 3 сначала умножают, хотя сложение записано левее. Чтобы проверить себя, после вычисления скобок отдельно отметь умножение и деление, а затем выполняй сложение и вычитание.

Четвёртая ошибка — не заключить в скобки сумму, которую нужно умножить целиком. В задаче про несколько одинаковых наборов это приводит к тому, что умножается только одна часть набора. Ошибку допускают, когда переводят текст в запись по словам, не выделяя действия одного набора. Проверь себя вопросом: какое количество повторяется столько раз, сколько наборов? Именно его нужно умножить на число наборов.

Связь с другими темами

Для работы со скобками нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа: эти вычисления выполняются внутри скобок и после них. Также необходимо знать обычный порядок действий в выражениях без скобок, иначе легко ошибиться на последнем этапе. Скобки используют при записи и вычислении числовых выражений, а ещё при решении задач в несколько действий. Они позволяют объединить действия, которые описывают один шаг задачи, например подсчёт предметов в одном наборе.

Что запомнить

• Действия в скобках выполняют прежде остальных.
• Скобки могут изменить значение выражения.
• После вычисления в скобках соблюдают обычный порядок действий.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Скобки помогают точно записать, какое действие нужно выполнить первым.