"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Скобки в числовом выражении указывают, какую его часть нужно вычислить первой. Благодаря им можно изменить обычный порядок действий и точно записать, как связаны числа и действия. Без скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а действия одного приоритета — слева направо. Одна и та же запись чисел и знаков при разной расстановке скобок может дать разные результаты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, значение которой можно найти. Например, 8 + 2 · 3 — числовое выражение. Это понятие помогает отличать запись, которую можно вычислить, от отдельных чисел или знаков.
Скобки — знаки, показывающие, какую часть выражения нужно вычислить раньше других действий. В записи 5 · (2 + 4) сначала находят сумму в скобках. Скобки нужны, чтобы задать требуемую последовательность вычислений.
Порядок действий — правило, по которому определяют последовательность вычислений в выражении. Например, без скобок умножение выполняют раньше сложения. Знание этого правила позволяет разным людям одинаково понимать одну и ту же запись.
Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий. У выражения 6 + 4 · 2 значение равно 14, потому что сначала умножают 4 на 2, а потом прибавляют 6. Найти значение — значит правильно выполнить все действия в заданном порядке.
В выражении без скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что так договорились читать арифметические записи. Благодаря общему правилу выражение имеет один и тот же смысл для всех, кто его вычисляет. Например, запись 7 + 3 · 4 означает, что к 7 прибавляют произведение 3 и 4, а не сначала складывают 7 и 3.
Скобки позволяют изменить обычную очередность: действия внутри них выполняют первыми, даже если снаружи есть умножение или деление. Так можно сначала сложить или вычесть числа, а затем использовать полученный результат в следующем действии. Например, в (7 + 3) · 4 сначала находят сумму, после чего умножают её на 4.
Одни и те же числа и знаки могут привести к разным результатам, если скобки стоят по-разному, потому что они задают, какие действия объединены. В выражении 7 + 3 · 2 сначала умножают 3 на 2 и получают 13. В выражении (7 + 3) · 2 сначала складывают и получают 20. Меняется порядок вычислений, поэтому меняется и значение.
Если в записи несколько пар скобок, начинают с выражения в самых внутренних скобках. После этого его результат становится частью выражения в следующем уровне скобок, и так продолжают, пока скобок не останется. Затем действуют по общим правилам: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание, а действия одного приоритета выполняют слева направо.
Скобки нужны для точной записи условия задачи и устранения неоднозначности. Например, покупку нескольких одинаковых наборов можно представить произведением числа наборов на сумму цен предметов в одном наборе: n · (a + b). Без скобок запись n · a + b означала бы другое: сначала умножить n на a, а затем прибавить b. Скобки помогают сразу увидеть, какие величины нужно объединить.
| Вид выражения | Какое действие выполняется первым | Пример | Что показывает пример |
|---|---|---|---|
| Выражение без скобок, содержащее только сложение и вычитание | Действия выполняются слева направо | 18 − 5 + 2 | Нельзя произвольно менять порядок действий |
| Выражение без скобок, содержащее умножение или деление | Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание | 7 + 3 · 4 | Умножение выполняется раньше сложения |
| Выражение со скобками | Сначала вычисляется выражение в скобках | 7 + (3 + 4) · 2 | Скобки задают новый порядок действий |
Сначала определите, есть ли в выражении скобки: если есть, начните с действий внутри них. Если скобок нет, проверьте, встречаются ли умножение или деление, и соблюдайте их приоритет. Для действий одинакового приоритета двигайтесь слева направо.
Задача 1. Вычислить 7 + 3 · 2 и (7 + 3) · 2, сравнить результаты. Здесь числа и знаки действий совпадают, но скобки могут поменять очередность вычислений. Поэтому сначала отдельно разберём правила для каждой записи.
Ответ: значения равны 13 и 20; результаты различаются, потому что скобки изменили порядок действий. Чтобы проверить себя, убедитесь, что в первом выражении умножение выполнено раньше сложения, а во втором первой найдена сумма.
Задача 2. Вычислить 48 : (6 + 2) + 5. Скобки задают первую часть вычисления, а после её выполнения остаются деление и сложение. Следует не делить 48 на 6 до того, как найдена сумма в скобках.
Ответ: 11. Проверка порядка проста: сначала найдена сумма в скобках, затем выполнены деление и сложение.
Задача 3. Вычислить 72 − (18 : (3 + 3) + 4) · 2. Здесь одни скобки находятся внутри других, поэтому начинать нужно с самой внутренней пары. После упрощения вложенной части станет ясно, какое действие выполнить следующим.
Ответ: 58. При проверке следите, чтобы после внутренних скобок вы полностью вычислили выражение во внешних, а вычитание выполнили только после умножения.
Иногда все действия выполняют слева направо, не учитывая их вид. Так поступают, если помнят направление чтения, но забывают о приоритете умножения и деления. Проверьте себя: подчеркните в выражении действия умножения и деления и убедитесь, что они выполнены раньше сложения и вычитания.
Другая ошибка — начать с действия вне скобок. Её допускают, когда замечают умножение или деление и сразу считают его, не проверив, есть ли в выражении скобки. Чтобы проверить себя, сначала найдите все скобки и вычислите то, что записано внутри них.
Некоторые считают, что скобки никак не влияют на результат. Это может казаться верным, если в простом примере скобки не изменили значение, но такое правило неверно в общем случае. Сравните результаты выражений 7 + 3 · 2 и (7 + 3) · 2: разные ответы показывают, что скобки могут изменить очередность и итог.
При переписывании выражения иногда теряют скобки, числа или знаки действий. Обычно так происходит, когда вычисления делают слишком быстро или не сверяют новую строку с исходной записью. Проверяйте, что каждое число и каждый знак сохранились, а после вычисления скобок изменена только их часть, а не остальные действия.
До этой темы полезно знать таблицу умножения, правила сложения, вычитания, умножения и деления, а также порядок действий в выражениях без скобок. Эти знания помогают уверенно выполнять вычисления внутри скобок и после них. Скобки понадобятся при решении текстовых задач, где нужно объединить несколько величин, при составлении формул и преобразовании числовых и буквенных выражений. В таких задачах они показывают, какие действия относятся к одной части записи.
Почему нельзя всегда считать выражение слева направо?
Потому что для действий установлены правила приоритета: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Слева направо считают только действия одного приоритета, если скобки не задают другой порядок.
Что делать первым: действие в скобках или умножение вне скобок?
Сначала вычисляют выражение в скобках, даже если снаружи есть умножение. Затем выполняют оставшиеся действия по обычным правилам порядка.
Могут ли скобки не изменить значение выражения?
Да. Например, в выражении 2 + (3 + 4) результат будет таким же, как в 2 + 3 + 4: сложение выполняется в одинаковом порядке. Но в других выражениях скобки могут изменить результат.
Как вычислять выражение с несколькими парами скобок?
Сначала вычисляют самые внутренние скобки, затем переходят к тем, которые их охватывают. Когда действия в скобках закончены, выполняют оставшиеся действия по правилам порядка.
Зачем нужны скобки в записи условия или формулы?
Скобки помогают показать, какие числа или действия связаны между собой. Благодаря им выражение можно прочитать однозначно и получить нужную последовательность вычислений.
Урок 11. Зачем нужны скобки
