"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Числовое выражение — это запись из чисел и знаков арифметических действий, иногда со скобками. Она помогает показать, какие вычисления нужно выполнить, например при решении задачи или подстановке чисел в формулу. Чтобы получить значение выражения, нужно выполнить все действия в установленном порядке: сначала в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 8 + 3 · 2 и (15 − 6) : 3 являются числовыми выражениями. Отдельное число, например 12, тоже можно считать числовым выражением: оно не содержит действий, но его значение уже известно. Такие записи нужны, чтобы коротко показывать вычисления и связь между числами.
Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий, указанных в выражении. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, потому что сначала выполняют умножение. Само выражение описывает вычисление, а его значение является результатом. Это различие помогает не путать запись задачи с ответом.
Порядок действий — установленная последовательность, в которой выполняют действия в выражении, чтобы найти его значение. Сначала учитывают скобки, затем правила приоритета действий и движение слева направо для действий одной ступени. Без этих правил одна запись могла бы давать разные ответы в зависимости от того, какое действие человек выбрал первым. Поэтому порядок действий делает результат однозначным.
Числовое выражение составляют, соединяя числа знаками арифметических действий: например, из чисел 9 и 4 можно записать 9 + 4 или 9 · 4. Скобки позволяют объединить часть записи и указать, какие вычисления связаны между собой. Отдельное число тоже является выражением, но в нём нет знаков действий, поэтому его значение не требуется вычислять. Такое понимание помогает отличать математическую запись от словесного описания задачи.
Чтобы найти значение выражения, нужно последовательно выполнить указанные в нём действия. После каждого шага исходную запись заменяют более простой, сохраняя её смысл: например, в 10 + 6 : 2 сначала можно заменить частное 6 : 2 числом 3. Затем остаётся сложение 10 + 3. Промежуточные записи показывают ход вычисления и помогают заметить, на каком шаге появилась ошибка.
Скобки выполняют раньше остальных действий, потому что они выделяют часть выражения, которую нужно рассматривать как отдельную. Если не вычислить эту часть сначала, можно изменить смысл записи. При вложенных скобках начинают с самых внутренних: сначала находят значение выражения внутри них, затем переходят к следующей паре скобок снаружи. В каждой такой части всё равно соблюдают правила приоритета.
Если скобок нет или они уже раскрыты вычислением, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Так, в записи 7 + 4 · 3 сначала находят произведение 4 · 3, а не складывают 7 и 4. Это соглашение позволяет читать запись одинаково и не добавлять скобки там, где они не нужны. Поэтому значение примера равно 19, а не 33.
Сложение и вычитание имеют одинаковую ступень приоритета, как и умножение с делением. Поэтому внутри одной ступени действия выполняют по порядку слева направо: в 20 : 5 · 2 сначала делят 20 на 5, затем умножают результат на 2. Нельзя считать, что одно из двух действий автоматически главнее другого. Правило слева направо применяется после того, как учтены скобки и более высокий приоритет.
| Ситуация | Что выполнять | Порядок выполнения |
|---|---|---|
| В выражении есть скобки | Действия внутри скобок | До действий вне скобок |
| В скобках несколько действий | Действия внутри скобок по их приоритету | Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание; одинаковые по ступени — слева направо |
| Есть умножение или деление без скобок | Умножение и деление | До сложения и вычитания |
| Есть сложение или вычитание без скобок | Сложение и вычитание | После действий более высокого приоритета |
| Действия одного приоритета | Действия одной ступени | Слева направо |
Сначала найди в записи скобки и вычисли их содержимое, начиная с внутренних скобок. Затем выполни умножение и деление, а после них — сложение и вычитание. Если встретились действия одной ступени, двигайся слева направо.
Здесь есть только вычитание и сложение, а они относятся к одной ступени. Значит, нельзя произвольно выбирать первое действие: нужно идти слева направо. Сначала выполним вычитание, затем прибавим оставшееся число.
Ответ: 19. Проверка порядка: сложение не было перенесено перед вычитанием, а вычисления шли слева направо.
В записи есть вычитание и умножение. Умножение имеет более высокий приоритет, поэтому сначала вычислим произведение 2 · 5. Только после этого выполним вычитание из 18.
Ответ: 8. Если бы сначала вычли 18 − 2, мы бы изменили порядок, заданный правилами, и получили неверное значение.
Сначала нужно вычислить обе скобки, а затем умножить полученные результаты. В первой скобке только вычитание. Во второй есть деление и сложение, поэтому внутри неё сначала выполним деление.
Ответ: 80. Мы не начинали с умножения между скобками, потому что сначала нужно было найти значения частей, которые скобки выделяют.
Ошибка — выполнять все действия подряд слева направо, не учитывая, что умножение и деление предшествуют сложению и вычитанию. Так поступают, перенося правило для действий одной ступени на всё выражение. Проверь себя: найди действия более высокого приоритета и выполни их раньше; например, в 18 − 2 · 5 сначала вычисляется произведение.
Неверно считать, что сложение всегда выполняют раньше вычитания или умножение раньше деления. Эти действия стоят на одной ступени, поэтому их выполняют слева направо. Чтобы проверить себя, отметь действия одинакового приоритета и проследи, какое из них записано раньше: в 20 : 5 · 2 сначала выполняют деление.
Иногда начинают с внешнего действия, не вычислив содержимое скобок. Скобки задают часть выражения, которую нужно выполнить прежде действий за их пределами. Проверка простая: сначала отметь скобки и посмотри, не осталось ли внутри них действий; при вложенных скобках двигайся от внутренних к внешним.
Можно пропустить действие или неверно переписать промежуточное выражение. Такая ошибка часто появляется, когда переходят сразу к ответу и не показывают вычисления по шагам. Отмечай очередность действий, записывай результат каждого шага и сверяй числа и знаки с исходной записью.
Для вычисления выражений нужно знать смысл сложения, вычитания, умножения и деления, а также уметь распознавать знаки этих действий. Если значение отдельного действия непонятно, порядок его выполнения сам по себе не поможет найти ответ. Поэтому полезно освежить основные арифметические правила.
Порядок действий нужен и при вычислениях с обыкновенными и десятичными дробями. При изменении вида чисел правила о скобках и приоритете не меняются: меняется только способ выполнять отдельные действия. Это позволяет переносить знакомый алгоритм на новые примеры.
Числовые выражения встречаются при подстановке чисел в буквенные выражения и при записи решения текстовых задач. Сначала выбирают нужные действия и записывают их, а затем находят значение. Так вычисления становятся понятнее и их легче проверить.
Что называется числовым выражением?
Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 7 + 3 · 2 и (12 − 4) : 2 — числовые выражения.
Чем числовое выражение отличается от его значения?
Выражение показывает, какие вычисления нужно выполнить, а значение — результат этих вычислений. Например, для выражения 6 + 2 значение равно 8.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Для выражений без скобок принято правило приоритета: умножение и деление выполняют до сложения и вычитания. Благодаря этому запись имеет однозначный смысл и все получают одинаковый результат.
В каком порядке выполнять сложение и вычитание?
Сложение и вычитание относятся к действиям одной ступени. Если скобки и действия более высокого приоритета не меняют порядок, их выполняют слева направо.
С чего начинать вычисления, если в выражении есть скобки?
Сначала вычисляют то, что находится в скобках. Если скобки вложены, начинают с внутренних, а затем переходят к внешним; внутри каждой скобки соблюдают обычный порядок действий.
Урок 14. Числовые выражения
