"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Числовое выражение — это запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, по которой можно выполнить вычисления. Оно помогает кратко записать последовательность действий и получить определённое число — значение выражения. Чтобы найти это значение, недостаточно считать подряд: нужно соблюдать порядок действий. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание; действия одной ступени выполняют слева направо.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 7 + 5, 18 − 6 + 4 и 24 : (3 + 5) — числовые выражения. Они задают вычисления, которые можно выполнить, чтобы получить результат.
Запись, в которой указано только действие без чисел, например «+» или «умножить на», числовым выражением не является. Отдельное число, например 9, тоже считают числовым выражением: его значение уже известно и равно 9. Это различие помогает понять, какие записи можно вычислить.
Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 8 + 3 равно 11. Выражение описывает вычисления, а его значение показывает их итог, поэтому важно не путать запись с ответом.
Порядок действий — последовательность, в которой выполняют действия в выражении, чтобы найти его значение. Если изменить эту последовательность, результат может измениться. Правила порядка действий позволяют всем вычислять одну и ту же запись одинаково.
Скобки — знаки, указывающие, какие действия нужно выполнить прежде остальных. В выражении 2 · (3 + 4) сначала складывают числа в скобках, а потом умножают. Скобки помогают задать нужную очередность вычислений.
Числовое выражение задаёт последовательность действий над числами. Чтобы получить его значение, нужно выполнить эти действия по правилам, а не выбирать удобный порядок. Иначе можно получить ответ, который не соответствует исходной записи: например, умножение и сложение в общем случае нельзя переставлять местами без скобок.
Если в выражении есть скобки, сначала вычисляют то, что находится внутри них. Скобки выделяют часть записи, которую нужно рассматривать как отдельный шаг, поэтому действия снаружи ждут, пока этот шаг не будет выполнен. При вложенных скобках начинают с внутренних: их результат нужен для вычисления внешнего выражения.
Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Это правило делит действия на две ступени: умножение и деление связывают числа теснее, чем сложение и вычитание. Поэтому в записи 6 + 2 · 4 сначала находят произведение 2 · 4, а потом прибавляют 6.
Сложение с вычитанием выполняют слева направо, так же как умножение с делением. Действия одной ступени не имеют преимущества друг перед другом, поэтому ориентируются на их расположение в записи. Например, в 20 − 8 + 3 сначала вычитают 8 из 20, а затем прибавляют 3.
Чтобы вычислить выражение с разными действиями и скобками, последовательно применяют все правила, не переписывая его по-своему. На каждом шаге выполняют одно действие и заменяют его результатом, сохраняя остальные числа и знаки на своих местах. Так легче заметить пропуск или случайную замену знака и проверить ход вычислений.
| Этап | Какие действия выполняются | Правило |
|---|---|---|
| 1 | Действия в скобках | Сначала выполнить действия во внутренних скобках |
| 2 | Умножение и деление | Выполнять слева направо |
| 3 | Сложение и вычитание | Выполнять слева направо |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, затем найди умножение и деление, а в конце выполни сложение и вычитание. Внутри каждого этапа двигайся по записи слева направо. Если какого-то вида действий в выражении нет, переходи к следующему этапу.
В выражении есть только вычитание и сложение, а это действия одной ступени. Значит, не нужно выбирать сложение или вычитание как более важное. Начинаем с действия, которое стоит левее.
Ответ: 16. Проверка порядка проста: первое действие было самым левым, а второе выполнили после него.
Сначала проверяем, есть ли скобки: их нет. Умножение имеет более высокую ступень, чем сложение и вычитание, поэтому сначала найдём произведение, а затем будем считать оставшиеся действия слева направо.
Ответ: 17. Если бы мы начали с 24 − 3, то нарушили бы правило ступеней действий и получили неверное значение.
В выражении две пары скобок, поэтому сначала вычисляем действия внутри каждой из них. После этого останутся деление и умножение, которые выполним слева направо, а сложение сделаем последним. Такая последовательность следует правилу: сначала скобки, затем действия более высокой ступени.
Ответ: 14. При записи промежуточных результатов важно сохранить знаки между частями выражения: иначе можно изменить само вычисление.
Считать подряд слева направо, не учитывая ступени действий. Так поступают, когда воспринимают выражение как обычную цепочку чисел, но умножение и деление нужно выполнить раньше сложения и вычитания. Чтобы проверить себя, сначала отметь все скобки, затем умножение и деление; только после этого переходи к действиям первой ступени.
Считать сложение раньше вычитания или умножение раньше деления. Такое правило кажется возможным из-за привычного перечисления действий, но внутри одной ступени преимущество определяется не видом действия, а его местом. Проверяй знаки по порядку слева направо: например, в 18 − 6 + 4 сначала нужно вычитать.
Начинать с внешних скобок, если внутри есть вложенные. Можно ошибочно принять выражение в больших скобках за первый шаг и не заметить, что в нём есть отдельные скобки. Сначала найди самые внутренние скобки и вычисли их содержимое, затем переходи к внешним; сверка по слоям поможет не перескочить этап.
Пропускать действие или менять запись при переписывании. Это случается, когда ученик торопится или записывает промежуточный результат не полностью; пропущенный знак может изменить значение всего выражения. После каждого шага сравнивай запись с предыдущей: должно быть выполнено ровно одно действие, а остальные числа и знаки должны сохраниться.
Для вычисления числовых выражений нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа. Эти вычислительные навыки дают сами результаты, а правила порядка действий подсказывают, в какой очередности их находить. Если одно из действий выполнено неверно, правильный порядок сам по себе не обеспечит верный ответ.
Тот же порядок действий пригодится при вычислении выражений с обыкновенными и десятичными дробями. Он также нужен в буквенных выражениях, где вместо некоторых чисел записаны буквы: правила очередности остаются теми же. Поэтому навык полезен не только для вычислений с натуральными числами.
Что называют числовым выражением?
Числовым выражением называют запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 12 + 3 · 2 и 48 : (2 + 4) — числовые выражения. Отдельное число тоже может быть числовым выражением.
Чем числовое выражение отличается от его значения?
Выражение — это запись, например 8 + 5 · 2. Его значение — число, которое получается после выполнения всех действий, в данном случае 18. Запись и результат вычислений — не одно и то же.
Как выполнять действия, если в выражении есть скобки?
Сначала выполняй действия внутри скобок. Если скобки вложены друг в друга, начинай с самых внутренних. Затем соблюдай обычный порядок действий вне скобок.
Что делать, если в выражении есть умножение и сложение?
Сначала выполни умножение, потому что оно имеет более высокую ступень, чем сложение. После этого выполни сложение и остальные действия этой ступени слева направо.
В каком порядке выполнять сложение и вычитание?
Сложение и вычитание относятся к одной ступени, поэтому их выполняют слева направо. Нельзя считать, что сложение всегда нужно сделать раньше вычитания.
Урок 15-Числовые выражения
