Урок 16. Числовые равенства и неравенства

Определения и обозначения

Числовое равенство — это запись двух числовых выражений, соединённых знаком =. Оно утверждает, что значения выражений слева и справа одинаковы. Например, в записи 6 + 4 = 10 обе части имеют значение 10. Понятие нужно, чтобы записывать результат сравнения и проверять, совпали ли значения.

Числовое неравенство — запись сравнения двух чисел или числовых выражений с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Оно показывает, что одно значение больше или меньше другого, а иногда допускает равенство значений. Например, 9 > 5. Такие записи помогают кратко сообщать о сравнении величин.

Верное равенство или неравенство — запись, в которой значения действительно соответствуют поставленному знаку. Например, 12 − 3 = 9 и 8 > 6 верны. Проверка верности нужна, чтобы отличать правильный результат от ошибочного, даже если запись выглядит привычно.

Неверное равенство или неравенство — запись, в которой указанное сравнение не выполняется. Так, 7 + 2 = 10 неверно, потому что слева получается 9. Это понятие напоминает: знак сам по себе не делает запись правильной, поэтому сравниваемые значения нужно проверить.

Как это устроено

Вычисление выражений превращается в равенство, когда результат записывают рядом с исходным выражением через знак =. Сначала находят значение выражения, например 15 − 7 = 8, а затем при необходимости сравнивают его с другим числом или выражением. Так запись показывает не только выполненное действие, но и связь между двумя значениями. Если выражения стоят по обе стороны знака, вычислить нужно каждое из них.

Знак = означает одинаковость значений, потому что он соединяет две части, которые дают один и тот же результат. Знаки > и < нужны, когда значения различаются: первый показывает, что слева больше, второй — что слева меньше. Например, 11 > 4, но 4 < 11. Сравнение помогает понять порядок чисел, а не просто назвать их по отдельности.

Чтобы проверить запись, не нужно менять её левую или правую часть: сначала вычисляют то, что уже записано, и сравнивают результаты. Например, в 5 · 3 = 16 получаем 15 и 16, поэтому равенство неверно. Если начать исправлять одну часть прямо во время проверки, можно потерять исходное утверждение и не заметить ошибку. Надёжнее оставить запись неизменной и вынести решение по полученным значениям.

Знак > читают «больше», а знак < — «меньше»; острый угол знака обращён к меньшему числу. Поэтому в записи 3 < 8 меньшая величина находится рядом с остриём, а большая — со стороны раскрытия знака. Знаки ≥ и ≤ добавляют возможность равенства: например, 5 ≥ 5 верно, а 5 > 5 — нет. Такое чтение не даёт перепутать строгие и нестрогие сравнения.

Если по обе стороны стоят выражения с несколькими действиями, сравнивать их сразу нельзя: сначала нужно вычислить каждую часть. Порядок действий сохраняет смысл выражения, поэтому умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а скобки учитывают в первую очередь. Например, в 2 + 3 · 4 сначала получают 12, затем 14. Только после этого результат сравнивают с другой частью и решают, верна ли запись.

Числовые равенства и неравенства

Сначала определите, какой вид записи перед вами, затем прочитайте знак и сравните значения обеих частей. В последней строке пример проверяется вычислением: только после этого можно назвать запись верной или неверной. Если значения равны, строгие знаки > и < не подходят.

Разбор задач

1. Проверяем записи

Определим, какие записи верны: 27 + 8 = 35; 64 − 19 > 50; 6 · 7 < 40. В каждой записи вычисляем значения, которые сравниваются, и проверяем знак. Ничего менять в условии не нужно: мы лишь выясняем, соответствует ли сравнение результатам.

1. В первой записи 27 + 8 = 35, значит получаем 35 = 35. Значения одинаковы, поэтому равенство верно.
2. Во второй записи 64 − 19 = 45. Сравниваем 45 и 50: число 45 меньше 50, а знак утверждает, что оно больше. Запись неверна.
3. В третьей записи 6 · 7 = 42. Число 42 не меньше 40, поэтому знак < не соответствует результатам. Запись неверна.

Ответ: верна только запись 27 + 8 = 35.

2. Выбираем знак сравнения

Вставим знак в записи 48 : 6 □ 3 + 5 и 7 · 9 □ 70 − 7. Знаки нельзя выбирать по внешнему виду выражений: сначала нужно получить значения обеих частей. После этого останется поставить знак, который верно описывает сравнение.

1. В первом задании вычисляем: 48 : 6 = 8, а 3 + 5 = 8. Значения равны, поэтому ставим знак =.
2. Во втором задании 7 · 9 = 63, а 70 − 7 = 63. Результаты снова одинаковы, значит, ставим знак =.

Ответ: 48 : 6 = 3 + 5; 7 · 9 = 70 − 7. Обе записи показывают равные значения.

3. Составляем верное неравенство

Нужно составить верное неравенство из чисел 12, 18 и выражения 3 · 5, используя знак > или <. Вычислим выражение: 3 · 5 = 15. Теперь сравним значения 12, 15 и 18, чтобы выбрать расположение чисел, которое соответствует знаку.

1. Сравниваем 12 и 15: 12 меньше 15, поэтому можно записать 12 < 3 · 5.
2. Сравниваем 3 · 5 и 18: значение выражения равно 15, а 15 меньше 18. Получаем 3 · 5 < 18.
3. Проверяем выбранную запись: её левая часть имеет значение 15, правая — 18, и 15 действительно меньше 18.

Ответ: например, 12 < 3 · 5 или 3 · 5 < 18. В обоих случаях меньшее значение стоит слева от знака <.

Типичные ошибки

Знак > или < иногда читают неправильно, ориентируясь только на его наклон. Тогда ученик может написать 3 > 8, хотя 3 меньше 8; такая ошибка возникает, если не сопоставить знак с положением чисел. Проверяйте себя чтением вслух: 3 > 8 означает «три больше восьми». Если фраза неверна, знак нужно развернуть.

Другая ошибка — считать запись верной только потому, что в ней есть знак = или <. Но знак выражает утверждение, а не гарантирует его истинность: например, 4 + 2 < 5 неверно. Такое случается, когда торопятся и не находят значения частей. Для проверки вычислите обе стороны, а затем решите, совпадает ли сравнение с указанным знаком.

При сравнении выражений можно нарушить порядок действий, например в 2 + 3 · 4 сначала сложить 2 и 3. Тогда получится неправильное значение и вывод о знаке тоже окажется ошибочным. Обычно так происходит из-за желания считать слева направо, не учитывая правила. Проверьте, нет ли скобок, и сначала выполните умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Равенство иногда принимают за ответ отдельного вычисления и думают, что оно всегда верно. На самом деле запись 8 + 1 = 10 тоже равенство по виду, но неверное по смыслу, потому что слева получается 9. Ошибку допускают, когда замечают знакомый знак и не проверяют его содержание. Спросите себя, равны ли значения частей; если нет, равенство неверно.

Связь с другими темами

Чтобы работать с равенствами и неравенствами, нужно уметь читать натуральные числа, выполнять арифметические действия и соблюдать порядок действий. Эти навыки позволяют находить значения частей и делать верный вывод о сравнении. Сами равенства и неравенства пригодятся при сравнении величин, решении задач и проверке результатов вычислений. Позже тот же способ рассуждения будет использоваться в буквенных равенствах, уравнениях и неравенствах, где рядом с числами появятся буквы.

Что запомнить

• Равенство соединяет два выражения знаком =.
• Неравенство сравнивает два числа или числовых выражения.
• Запись бывает верной или неверной независимо от используемого знака.
• Чтобы проверить запись, нужно вычислить значения сравниваемых выражений.
• Знак > читают «больше», а знак < — «меньше».
• При сравнении выражений сначала выполняют действия по правилам порядка действий.