Урок 15. Деление круглых чисел

Определения и обозначения

Круглое число — это число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями: 60, 900, 12 000. Нули показывают, что число получилось умножением ненулевого числа на 10, 100, 1000 или другую разрядную единицу. Поэтому круглые числа удобно делить: разрядные единицы можно учитывать по количеству нулей.

Деление круглых чисел — это деление, в котором делимое и делитель оканчиваются нулями, например 3600 : 90. Одинаковые конечные нули разрешается сокращать, потому что оба числа делят на одно и то же число. Такой приём заменяет громоздкое вычисление более простым делением.

Частное — результат деления. Например, в равенстве 24 : 6 = 4 число 4 является частным; если увеличить делимое в 10 раз, то 240 : 6 = 40, а если одновременно увеличить делимое и делитель в 10 раз, то 240 : 60 = 4. Эти примеры помогают понять, какие изменения влияют на ответ.

Как это устроено

При делении круглого числа на 10, 100 или 1000 число уменьшается соответственно в 10, 100 или 1000 раз. Умножение на 10 дописывает справа один ноль, а деление на 10 выполняет обратное действие, поэтому один конечный ноль исчезает. Например, 840 : 10 = 84, а 5600 : 100 = 56: в каждом случае убрано столько нулей, сколько их в делителе.

Деление можно понимать как поиск такого числа, которое при умножении на делитель даёт делимое. Если и делимое, и делитель разделить на одно и то же ненулевое число, это равенство не изменится по смыслу: (a : c) : (b : c) = a : b. Например, 36 : 6 = 6 и 360 : 60 = 6, потому что оба числа во втором выражении уменьшены в 10 раз.

У круглых чисел этим свойством пользуются для сокращения нулей. Сначала считают конечные нули у делимого и делителя, затем убирают одинаковое их количество, то есть делят оба числа на 10, 100 или другую общую разрядную единицу. После этого оставшиеся числа делят обычным способом, не забывая сохранить нули, которые не удалось сократить.

Количество нулей может быть разным. Если у делимого нулей больше, после сокращения оставшиеся нули увеличивают частное: 2400 : 30 = 240 : 3 = 80. Если нулей больше у делителя, частное может быть меньше единицы, поэтому после сокращения выполняют деление с десятичной дробью: 36 : 900 = 36 : 900 = 0,04; результат проверяют умножением.

Приёмы деления круглых чисел

Сначала определите, сколько нулей можно сократить одновременно в обоих числах. Затем выберите строку таблицы, подходящую к примеру, и выполните оставшееся деление. В конце проверьте ответ умножением: это особенно полезно, когда в частном нужно правильно записать нули или запятую.

Разбор задач

1. Вычислите 840 : 10

Делитель равен 10, значит, число нужно уменьшить в десять раз. В записи 840 есть один конечный ноль, и именно его можно убрать. После удаления нуля остаётся число 84.

1. Записываем деление: 840 : 10.
2. Убираем один конечный ноль у делимого: 840 : 10 = 84.
3. Проверяем: 84 · 10 = 840.

Ответ: 84.

2. Вычислите 3600 : 90

У делимого 3600 и делителя 90 есть по одному общему конечному нулю. Нельзя убирать нули только у делимого, поэтому делим оба числа на 10. Получаем более простое выражение 360 : 9.

1. Сокращаем один ноль у обоих чисел: 3600 : 90 = 360 : 9.
2. Делим оставшиеся числа: 360 : 9 = 40.
3. Проверяем исходное выражение: 40 · 90 = 3600.

Ответ: 40.

3. Задача про яблоки

В магазин привезли 2400 кг яблок и разложили их поровну в 30 ящиков. Чтобы узнать массу яблок в одном ящике, нужно разделить общий вес на число ящиков. В выражении 2400 : 30 можно сократить по одному нулю у обоих чисел.

1. Составляем выражение: 2400 : 30.
2. Сокращаем общий ноль: 2400 : 30 = 240 : 3.
3. Выполняем деление: 240 : 3 = 80.
4. Проверяем: 80 · 30 = 2400.

Ответ: в каждом ящике 80 кг яблок.

Типичные ошибки

Убирать нули только у делимого. Так делимое изменяется, а делитель остаётся прежним, поэтому частное становится другим. Проверьте себя: после сокращения оба числа должны быть разделены на одно и то же число.

Сокращать разное количество нулей. Такая ошибка возникает, когда ученик переносит в частное все замеченные нули, не сравнив записи чисел. Сокращайте только одинаковое количество конечных нулей и затем выполните проверку умножением.

Отбрасывать все нули при делении на круглое число. Количество убираемых нулей определяется не только делимым, но и делителем, поэтому результат может содержать оставшиеся нули или десятичную часть. Перед вычислением посчитайте нули в обоих числах.

Не проверять частное. Из-за этого легко не заметить ошибку в вычислении или записи нулей. Умножьте ответ на делитель: если получилось исходное делимое, результат согласуется с условием.

Связь с другими темами

До изучения приёма нужно уметь делить натуральные числа и знать таблицу умножения. Эти навыки позволяют быстро выполнить деление после сокращения нулей. Без них правило не заменяет само вычисление.

Тема связана с разрядным составом числа: 10, 100 и 1000 содержат один, два и три нуля. Понимание разрядов помогает определить, сколько нулей можно убрать и где записать оставшиеся.

Приём используется в письменных вычислениях, задачах на равное распределение и работе с единицами измерения. Например, с его помощью проще разделить килограммы между ящиками или перевести крупные величины в более удобные для счёта.

Что запомнить

• Круглые числа оканчиваются одним или несколькими нулями.
• При делении на 10 число уменьшается в 10 раз.
• Если разделить делимое и делитель на одно и то же ненулевое число, частное не изменится.
• У делимого и делителя можно убрать одинаковое количество конечных нулей.
• После сокращения нулей оставшиеся числа нужно разделить обычным способом.
• Проверить деление можно умножением частного на делитель.