Урок 21.Длина ломаной

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из отрезков, у которой конец каждого отрезка, кроме последнего, является началом следующего. Иначе говоря, отрезки соединены последовательно, один за другим. Например, ломаную ABCD образуют отрезки AB, BC и CD. Это определение помогает понять, какие части фигуры нужно учитывать при поиске её длины.

Звено ломаной — один из отрезков, из которых она состоит. Звено обозначают буквами, соответствующими его концам: у ломаной ABCD это AB, BC и CD. Каждое звено — отдельная часть пути, поэтому для вычисления общей длины нужно узнать длину каждого из них. Обозначения помогают не перепутать отрезки и не пропустить ни один.

Вершина ломаной — конец звена, в котором оно соединяется с соседним звеном. В ломаной ABCD вершины B и C являются точками соединения звеньев, а A и D — крайние вершины, поскольку у каждой из них только одно соседнее звено. Соседними называют звенья, имеющие общую вершину. Различать точки и отрезки важно: вершины показывают соединения, а длину имеют звенья.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если звенья обозначены AB, BC и CD, то длина ломаной ABCD равна AB + BC + CD. Длину выражают в единицах длины: миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и других. Это понятие позволяет измерить весь путь по фигуре, а не только расстояние между её крайними точками.

Как это устроено

Ломаную строят, последовательно соединяя отрезки концами. Сначала проводят отрезок, затем от одного из его концов — следующий, а после него могут добавить ещё один. Места, где отрезки соединяются, становятся вершинами, а каждый проведённый отрезок — звеном. Такая последовательность нужна, чтобы фигура была связной: по ней можно пройти от начала до конца, не отрываясь от звеньев.

Длину ломаной находят сложением, потому что каждый отрезок составляет отдельную часть общего пути. Чтобы пройти ломаную от одной крайней вершины к другой, нужно пройти первое звено, затем второе и так далее. Поэтому к длине первого звена прибавляют длину каждого следующего. Если какое-то звено не учесть, часть пути окажется пропущенной и результат будет меньше настоящей длины.

Для вычисления по чертежу сначала проследи ломаную от одного конца до другого и перечисли её звенья. Затем возьми длины из условия или измерь отрезки линейкой, если рисунок позволяет это сделать. После этого сложи полученные значения. Измерение по рисунку подходит только тогда, когда размеры действительно требуется определить по чертежу: схематичный рисунок может быть выполнен не в точном масштабе.

Перед сложением проверь единицы измерения. Например, сантиметры и миллиметры нельзя складывать как обычные числа, пока не переведёшь их в одну единицу: 1 см = 10 мм. После перевода сложи значения и запиши единицу рядом с результатом. Так ответ будет сообщать не только число, но и то, какую длину оно обозначает.

Если несколько звеньев равны, одинаковые слагаемые можно заменить умножением. Например, длина четырёх равных звеньев по 5 см равна 4 · 5 см. А если дана общая длина и известны длины остальных звеньев, сначала сложи известные значения, затем вычти сумму из общей длины. Вычитание показывает, какая часть пути остаётся на неизвестное звено.

Как находить длину ломаной

В таблице собраны три распространённых вида условий. Сначала определи, что именно известно: все длины, длина одинаковых звеньев и их число или общая длина с известными частями. Затем выбери соответствующее действие и проверь, что все величины выражены в одной единице.

В последнем столбце показан общий вид записи, а не конкретные числа. Подставь в него значения из задачи и не забудь указать единицу измерения в ответе.

Разбор задач

Задача 1

Ломаная состоит из звеньев длиной 3 см, 4 см и 2 см. Найдите её длину. Все значения уже даны в сантиметрах, поэтому переводить их в другую единицу не требуется. Нужно учесть каждое из трёх звеньев по одному разу.

1. Запишем длины звеньев: 3 см, 4 см и 2 см.
2. Сложим их: 3 + 4 + 2 = 9.
3. Укажем единицу длины, в которой заданы слагаемые.

Ответ: 9 см. Проверка: полученная длина больше длины каждого отдельного звена, что соответствует сложению нескольких частей пути. Важно не прибавлять к сумме количество вершин: оно не является длиной.

Задача 2

У ломаной четыре равных звена длиной 5 см каждое. Найдите её длину. Здесь все слагаемые одинаковы, поэтому записывать 5 + 5 + 5 + 5 необязательно. Умножение на число звеньев даёт ту же сумму короче.

1. Определим, сколько равных звеньев: их четыре.
2. Умножим длину одного звена на их число: 5 · 4 = 20.
3. Запишем результат в сантиметрах.

Ответ: 20 см. Для проверки можно представить умножение как сложение: 5 + 5 + 5 + 5 = 20. Число 5 показывает длину одного звена, а 4 — сколько таких звеньев входит в ломаную.

Задача 3

Длина ломаной равна 18 дм. Длины двух её звеньев — 6 дм и 5 дм. Найдите длину третьего звена. Сначала выясним, какую часть общей длины составляют два известных звена. Оставшаяся часть пути и будет неизвестным третьим звеном.

1. Сложим длины известных звеньев: 6 + 5 = 11 дм.
2. Вычтем эту сумму из общей длины: 18 − 11 = 7 дм.
3. Проверим сложением: 6 + 5 + 7 = 18 дм.

Ответ: 7 дм. Проверка подтверждает, что длины всех трёх звеньев вместе дают указанную общую длину. При вычитании важно сначала сложить все известные части, а не вычитать их по отдельности с потерей промежуточного результата.

Типичные ошибки

Иногда при подсчёте складывают не все звенья или одно звено учитывают дважды. Так бывает, если перескакивать взглядом по чертежу, а не прослеживать фигуру последовательно. Проведи пальцем или отметь звенья по порядку от крайней вершины до другой и проверь, что каждое встретилось ровно один раз.

Другая ошибка — принять вершину за звено или начать считать точки вместо отрезков. Вершина является точкой соединения и не имеет длины, а звено — это отрезок, длину которого нужно учитывать. Ошибку можно проверить, назвав все отрезки по концам, например AB и BC, и сопоставив каждую измеряемую длину именно с отрезком.

Нельзя складывать числа, если длины записаны в разных единицах, например 2 см и 5 мм. Ошибку допускают, принимая сантиметры и миллиметры за одинаковые единицы. Перед вычислением переведи все значения в одну единицу, а затем проверь, что каждое слагаемое выражено одинаково.

Иногда в ответе оставляют только число, забывая написать единицу измерения. Тогда непонятно, обозначает ли результат сантиметры, метры или другую величину. После вычисления проверь запись целиком: рядом с числом должна стоять единица длины, согласованная с выбранными единицами слагаемых.

Связь с другими темами

Для работы с длиной ломаной нужны навыки измерения отрезков, сложения и вычитания натуральных чисел, а также знание единиц длины. Эти умения помогают получить и проверить результат. Например, измеренные величины сначала переводят в одинаковые единицы, а затем выполняют вычисление.

Понятие пригодится при нахождении периметра многоугольника. Периметр — это длина его границы, а стороны многоугольника образуют замкнутую ломаную. Поэтому для нахождения периметра складывают длины всех сторон так же, как складывают длины звеньев ломаной.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются её звеньями.
• Точки соединения звеньев называются вершинами.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• Перед сложением длины должны быть выражены в одинаковых единицах.
• Ответ записывают с единицей длины.