Урок 22.Периметр многоугольника

Определения и обозначения

Многоугольник — это замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Ломаная состоит из отрезков, соединённых концами, поэтому её звенья становятся сторонами многоугольника. Концы соседних звеньев называют вершинами; по ним удобно проследить границу фигуры.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Обычно его обозначают буквой P, а длины сторон — буквами a, b, c и другими. Например, для треугольника запись имеет вид P = a + b + c: она показывает, какие именно длины нужно сложить.

Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Если длина одной стороны равна a, а сторон всего n, то P = a · n. Умножение заменяет многократное сложение одинаковых слагаемых и помогает быстрее найти периметр.

Как это устроено

Чтобы найти периметр, мысленно или карандашом проходят по границе многоугольника от одной вершины к соседней. Каждое звено пути является одной стороной, поэтому пропуск уменьшит результат, а повторный подсчёт увеличит его. Удобно начинать с любой вершины и отмечать уже пройденные стороны, пока не вернёшься в начало.

Если длины сторон различны, составляют сумму всех известных длин. Сначала полезно записать слагаемые в том порядке, в котором стороны встречаются при обходе, чтобы ничего не забыть. Затем выполняют сложение и сохраняют единицу измерения в ответе.

У равностороннего многоугольника нет необходимости складывать одинаковую длину много раз. Все стороны равны одной и той же величине, а число одинаковых слагаемых равно числу сторон. Поэтому достаточно умножить длину стороны на количество сторон.

Периметр описывает длину границы, поэтому его выражают единицами длины: миллиметрами, сантиметрами, метрами и так далее. Складывать можно только величины, записанные в одной единице: например, сантиметры нужно перевести в миллиметры или метры. После вычисления ответ указывают в выбранной единице, а не в квадратных единицах.

Результат стоит проверить оценкой. Сумма положительных длин должна быть больше длины каждой отдельной стороны, а для фигуры с несколькими сторонами — примерно соответствовать общей длине её границы. Если ответ неожиданно меньше одной стороны или получился без единицы измерения, нужно повторить запись и вычисления.

Как найти периметр многоугольника

Выберите строку, которая соответствует условию задачи. В последнем случае сначала приведите все длины к одной единице, а затем применяйте подходящее правило.

Разбор задач

Задача 1

Найди периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Все три стороны уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Нужно учесть каждую сторону один раз.

1. Запишем сумму длин сторон: P = 4 см + 5 см + 6 см.
2. Сложим числа: 4 + 5 + 6 = 15.
3. Сохраним единицу измерения: результат выражен в сантиметрах.

Ответ: 15 см. Проверка показывает, что 15 см больше любой из сторон треугольника, значит, результат выглядит разумно.

Задача 2

Найди периметр четырёхугольника со сторонами 3 см, 4 см, 3 см и 6 см. Обойдём границу фигуры и запишем четыре длины в порядке следования. Одинаковые стороны тоже нужно записать дважды, потому что это две разные стороны.

1. Составим сумму: P = 3 см + 4 см + 3 см + 6 см.
2. Сложим первые два слагаемых: 3 + 4 = 7, затем прибавим остальные: 7 + 3 + 6 = 16.
3. Запишем ответ с единицей длины — сантиметром.

Ответ: 16 см. В сумме присутствуют все четыре стороны, и ни одна из них не пропущена или не посчитана повторно.

Задача 3

У правильного шестиугольника сторона равна 2 см. Правильный шестиугольник имеет шесть равных сторон, поэтому это равносторонний многоугольник. Сумму шести одинаковых слагаемых удобнее заменить умножением.

1. Определим количество сторон: n = 6.
2. Умножим длину стороны на их количество: P = 2 см · 6.
3. Выполним вычисление: 2 · 6 = 12.

Ответ: 12 см. Проверка с помощью сложения даёт тот же результат: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 см.

Типичные ошибки

Пропускают сторону или считают её дважды, потому что не отмечают пройденные звенья. Такая ошибка меняет сумму и периметр получается неверным. Проверяй себя последовательным обходом границы до возвращения в исходную вершину.

Складывают числа, записанные в разных единицах, например 2 м и 30 см как 2 + 30. Причина ошибки — внимание к числам без учёта единиц. Сначала переведи все длины в сантиметры или метры и только потом складывай.

Для многоугольника с равными сторонами умножают длину стороны не на то число. Множитель должен показывать количество сторон, а не случайное число из условия. Перед вычислением пересчитай стороны или определи их количество по названию фигуры.

Записывают периметр в квадратных единицах, путая его с площадью. Периметр измеряет длину линии, поэтому ему подходят сантиметры или метры, но не см² и м². Проверь обозначение единицы в последней строке решения.

Связь с другими темами

До изучения периметра нужно уметь распознавать многоугольники, находить их стороны и вершины, измерять отрезки и складывать числа с единицами длины. Эти умения превращают чертёж и измерения в понятную математическую запись.

Периметр встречается в практических задачах: по нему рассчитывают длину ограждения участка, материала для рамки или ленты вдоль границы фигуры. Поэтому формула связывает геометрию с реальными измерениями.

Позже периметр используют при изучении разных геометрических фигур и сравнении их размеров. Сравнивая периметры, можно определить, у какой границы общая длина больше.

Что запомнить

• Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
• Каждую сторону при вычислении учитывают ровно один раз.
• У равностороннего многоугольника периметр равен длине стороны, умноженной на количество сторон.
• Перед сложением длины нужно выразить в одинаковых единицах.
• Периметр измеряют в единицах длины.