"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Взаимно обратные задачи описывают одну и ту же ситуацию, но в каждой из них неизвестна другая величина. Например, если к числу предметов прибавили несколько и узнали результат, можно спросить, сколько предметов было сначала или сколько добавили. Такие задачи помогают понять связь между величинами, выбирать подходящее действие и проверять вычисления. Главное — сохранить исходные отношения и правильно поменять местами известное и искомое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая задача — задача, в которой по известным данным находят искомую величину. Например, если известно, сколько предметов было и сколько добавили, можно узнать, сколько стало. Это название помогает отличить исходную задачу от составленной на её основе.
Обратная задача — задача, составленная из прямой заменой известной и искомой величин. В условии появляется величина, которую раньше искали, а вопрос задаёт значение одного из прежних данных. Так можно рассмотреть ту же ситуацию с другой стороны.
Взаимно обратные задачи — прямая и обратная задачи, связанные одними величинами и общей ситуацией. Их числа описывают одни и те же отношения, хотя неизвестное в вопросе меняется. Это понятие нужно, чтобы видеть связь между решениями и проверять одно другим.
Условие и вопрос задачи — части текста, в которых соответственно сообщаются известные данные и формулируется искомая величина. Чтобы не перепутать их, найди в условии числа и то, что они обозначают, а затем отдельно прочитай вопрос. Такой разбор подсказывает, какие величины участвуют в решении.
Сначала выдели величины и подпиши, что означает каждое число: например, количество предметов сначала, изменение количества и результат. Отдельно отметь, что требуется найти. Это нужно потому, что одинаковые числа могут описывать разные величины, а без их смысла нельзя верно выбрать действие.
Чтобы составить обратную задачу, сделай искомую величину известной, а одно из исходных данных преврати в неизвестное. Для этого измени вопрос и подставь новое данное в условие. Числа не меняй произвольно: они должны по-прежнему описывать ту же ситуацию и удовлетворять прежней связи между величинами.
В прямой задаче обычно из известных частей находят целое или результат изменения: для этого используют сложение либо умножение. В обратной задаче известен итог, и нужно восстановить часть или число одинаковых групп, поэтому применяют вычитание либо деление. Действие меняется не из-за самого слова «обратная», а потому, что теперь известна другая величина.
Решение прямой задачи можно проверить обратной: подставь найденный результат в условие обратной задачи и узнай, получится ли прежнее данное. Например, если к начальным 7 прибавили 5 и получили 12, вычисления 12 − 5 и 12 − 7 должны вернуть числа 7 и 5. Такая проверка помогает заметить неверный ответ или выбранное действие.
В цепочке взаимно обратных задач результат одной может стать известным данным для следующей. Это возможно, потому что все задачи описывают связанные величины одной ситуации, а найденные значения не исчезают при смене вопроса. Следи, какое число что обозначает на каждом шаге: тогда цепочка не превратится в набор несвязанных вычислений.
| Вид задачи | Известные величины | Искомая величина | Действие для решения |
|---|---|---|---|
| Прямая задача | Первое данное и изменение величины | Результат | Сложение или умножение |
| Первая обратная задача | Результат и одно исходное данное | Изменение величины | Вычитание или деление |
| Вторая обратная задача | Результат и изменение величины | Исходное данное | Вычитание или деление |
Смотри сначала на то, какие величины известны и какую требуется найти, а уже затем выбирай действие. Таблица показывает типичную связь, но конкретное действие зависит от смысла задачи. Для проверки убедись, что найденное число отвечает на вопрос и подходит к исходной ситуации.
Задача: в коробке было 7 карандашей, положили ещё 5. Сколько карандашей стало? Здесь известны начальное количество и прибавленное количество, а неизвестно общее число после изменения. Составим две обратные задачи: в каждой число 12, найденное в прямой задаче, будет дано, а вопрос изменится.
Ответ: стало 12 карандашей; обратные ответы — 7 карандашей и 5 карандашей. Обе обратные задачи возвращают исходные данные, поэтому они подтверждают вычисление. При составлении задач важно назвать, что именно обозначает каждое число.
Задача: на первой полке 8 книг, а на второй на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке? Чтобы найти число на второй полке, к числу книг на первой прибавляем разницу: 8 + 3 = 11. Обратная задача может сообщать общее число книг: на двух полках 19 книг, на второй на 3 больше; сколько книг на каждой полке?
Ответ: на первой полке 8 книг, на второй 11 книг. Проверка: 8 + 11 = 19, а 11 − 8 = 3. Значит, новые данные согласуются с исходным отношением.
Задача: в 4 одинаковых пакетах 20 яблок. Сколько яблок в одном пакете? Всего яблок поровну распределено между четырьмя пакетами, поэтому находим размер одной группы делением: 20 : 4 = 5. Составим две обратные задачи, сохраняя связь числа пакетов, яблок в каждом и общего количества.
Ответ: в одном пакете 5 яблок; обратные ответы — 4 пакета и 20 яблок. Деление находит одну равную часть или число таких частей, а умножение восстанавливает целое. Поэтому решения обратных задач проверяют исходное деление.
Первая ошибка — назвать задачу обратной, но оставить прежний вопрос или не заменить неизвестное величиной из условия. Так получается не новая задача с другим искомым, а повтор исходной. Проверь себя: в обратной задаче найденный прежде ответ должен быть известен, а вопрос должен относиться к другому исходному данному.
Иногда при составлении обратной задачи меняют числа, не связанные с перестановкой известного и неизвестного. Тогда условие может описывать уже другую ситуацию или противоречить само себе. Сверь каждое число с его смыслом и проверь, что отношения между величинами остались прежними.
Слова «больше» и «меньше» сами по себе не определяют действие: прибавление или вычитание зависит от того, что известно и что требуется найти. Если выбирать действие только по отдельному слову, легко перепутать прямую и обратную задачи. Составь короткую схему отношений и спроси себя, какую величину нужно восстановить.
Если не проверить решение обратной задачей, ошибка в вычислении или выборе действия может остаться незамеченной. Подставь ответ в обратное условие и посмотри, возвращается ли исходное данное. Если число не совпало, проверь не только счёт, но и смысл величин.
Для этой темы пригодятся условие и вопрос задачи, различение известных и неизвестных величин, а также смысл сложения, вычитания, умножения и деления. В дальнейшем взаимно обратные задачи помогут решать составные задачи, проверять вычисления и выбирать действия. Одна жизненная ситуация может быть математической моделью для нескольких задач: меняется неизвестная величина, но отношения сохраняются.
Чем обратная задача отличается от обычной?
В обратной задаче одна из величин, которая была неизвестной в исходной, становится известной. А одно из прежних данных заменяется вопросом. Ситуация и связь величин при этом сохраняются.
Как понять, какое число нужно заменить при составлении обратной задачи?
Сначала определи, что искали в исходной задаче, и сделай эту величину известной. Затем выбери одно из прежних данных, которое станет неизвестным, и измени вопрос. Проверь, что все величины по-прежнему описывают ту же ситуацию.
Можно ли к одной задаче составить несколько обратных задач?
Да, если в исходной задаче несколько известных величин, каждую из них можно по очереди заменить вопросом. Так получаются разные обратные задачи. В каждой нужно сохранить смысл ситуации и связь между числами.
Почему в обратной задаче меняется арифметическое действие?
В прямой задаче известные величины объединяют, чтобы найти результат, а в обратной по результату восстанавливают одну из частей. Поэтому сложению обычно соответствует вычитание, а умножению — деление. Выбирай действие по отношениям между величинами, а не только по словам в условии.
Как проверить решение задачи с помощью обратной?
Составь обратную задачу, используя найденный ответ как известное данное. Реши её и сравни полученный результат с другим известным числом исходной задачи. Совпадение подтверждает решение, но вычисления всё равно нужно выполнять внимательно.
Урок 25.Взаимно обратные задачи
