Урок 26.Прямой угол

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называется вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Например, если лучи выходят из точки O, то O — вершина, а лучи — стороны угла. Это определение помогает понять, какие части фигуры нужно сравнивать и измерять.

Прямой угол — угол, равный четверти полного угла. Полный угол соответствует одному обороту, поэтому прямой угол равен 90°. На чертеже его можно распознать с помощью угольника: если стороны угла совпали с двумя сторонами прямого угла инструмента, перед нами прямой угол. Это удобно, когда градусная мера заранее неизвестна.

Перпендикулярными называют прямые, которые пересекаются под прямым углом. Запись a ⟂ b означает, что прямая a перпендикулярна прямой b. Каждая из двух пересекающихся прямых образует с другой прямые углы. Такое обозначение коротко показывает особое положение прямых на чертеже.

Угольник — чертёжный инструмент с прямым углом, который используют для проверки и построения прямых углов. У инструмента есть две стороны, образующие прямой угол, поэтому их можно сопоставлять со сторонами проверяемого угла. Другой его катет помогает провести линию под прямым углом к уже заданной. Угольником проверяют геометрическое положение, а не то, насколько ровно оно выглядит на глаз.

Как это устроено

Полный оборот вокруг точки составляет 360°. Если разделить его на четыре равные части, каждая часть будет равна 360° : 4 = 90°, то есть одному прямому углу. Поэтому прямой угол можно представить как поворот на четверть оборота. Эта связь позволяет не только запомнить меру 90°, но и проверить, почему она именно такая.

Чтобы отличить острый угол от тупого, сравнивают его с прямым углом. Острый угол меньше прямого, а тупой больше прямого, но меньше развёрнутого угла. Угольник служит образцом: если стороны проверяемого угла расходятся меньше, чем стороны прямого угла инструмента, угол острый; если больше — тупой. Сравнение особенно полезно, когда точные градусные значения не даны.

Величина угла зависит от того, насколько развернуты его стороны относительно друг друга. Если стороны продолжить или укоротить, их направления не изменятся, значит, не изменится и угол. Увеличение или уменьшение рисунка тоже не меняет взаимного положения сторон: меняются только размеры изображения. Поэтому большой на вид угол с короткими сторонами может быть равен маленькому на вид углу с длинными сторонами.

Для проверки угла сначала совмести вершину угольника с вершиной проверяемого угла. Затем наложи одну сторону прямого угла угольника на одну сторону проверяемого угла и посмотри на вторые стороны. Если они тоже совпадают, угол прямой; если нет, он отличается от прямого. Совпадение вершин обязательно: при смещении инструмента сравниваются уже не те углы, поэтому вывод будет ненадёжным.

Чтобы провести через заданную точку прямую, перпендикулярную данной, расположи угольник так, чтобы один его катет шёл вдоль данной прямой, а вершина прямого угла пришлась на заданную точку. По другому катету проведи линию через эту точку. Катеты угольника образуют прямой угол, поэтому построенная линия будет перпендикулярна исходной. Продли её в обе стороны, чтобы получить прямую, и отметь прямой угол небольшим квадратиком.

Виды углов и их сравнение с прямым углом

Сначала определи, по какую сторону от 90° находится величина угла: меньше, равна или больше. Если значение дано в градусах, таблица сразу помогает назвать вид угла. Если значение неизвестно, сравни угол с прямым углом угольника.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дано несколько углов. Нужно найти прямой угол, проверив их угольником. По внешнему виду нельзя сразу решить, какой угол прямой: рисунок может быть выполнен неточно. Поэтому проверяем каждый угол инструментом.

1. Выбери первый угол и совмести его вершину с вершиной прямого угла угольника.
2. Расположи одну сторону угольника вдоль одной стороны проверяемого угла.
3. Сравни вторые стороны: совпавшие стороны указывают на прямой угол.
4. Повтори проверку для остальных углов и отметь тот, у которого стороны совпали с угольником.

Ответ: прямым является угол, обе стороны которого совпали со сторонами прямого угла угольника.

Задача 2. Угол равен 90°. Определи, является ли он прямым, острым или тупым. Здесь сравнение можно выполнить без чертежа: известная величина позволяет определить вид угла. Граница между острыми и тупыми углами — прямой угол, равный 90°.

1. Вспомни меру прямого угла: 90°.
2. Сопоставь данное значение с этой мерой: 90° равно 90°.
3. Сделай вывод: угол не меньше и не больше прямого, а равен ему.

Ответ: угол является прямым.

Задача 3. Через точку, лежащую на данной прямой, проведи перпендикуляр к этой прямой и обозначь прямой угол. Нужно построить новую прямую так, чтобы она пересекла исходную в заданной точке под углом 90°. Угольник помогает сохранить нужное положение сторон.

1. Приложи один катет угольника к данной прямой, а вершину его прямого угла совмести с заданной точкой.
2. Проведи по другому катету линию через эту точку и продли её в обе стороны.
3. Поставь у точки пересечения маленький квадратик, обозначающий прямой угол.
4. Проверь, что угол между линиями совпадает с прямым углом угольника.

Ответ: построенная прямая перпендикулярна данной; у точки пересечения отмечен прямой угол.

Типичные ошибки

Считать угол прямым только потому, что его стороны на рисунке выглядят перпендикулярными, ненадёжно. Чертёж может быть неточным, а зрение не позволяет точно определить 90°. Такая ошибка возникает, когда внешний вид принимают за доказательство. Проверь угол угольником или используй известную градусную меру.

Оценивать величину угла по длине его сторон — ошибка: длинные стороны не делают угол больше. Стороны можно продлить или укоротить, сохранив их направления, поэтому величина останется прежней. Часто длина заметнее наклона, и из-за этого кажется, что она влияет на размер угла. Для проверки сравни направления сторон, а не их длину.

Если при проверке не совместить вершину угольника с вершиной угла, результат будет недостоверным. При смещении вершины стороны инструмента окажутся не напротив сторон проверяемого угла, поэтому сравниваются разные положения. Ошибку допускают, когда прикладывают только одну сторону и не проверяют точку пересечения. Перед выводом убедись, что вершины совпали, а одна пара сторон лежит друг на друге.

Прямой угол и перпендикулярные прямые связаны, но это не одно и то же. Прямой угол образуют два луча с общей вершиной, а перпендикулярными называют пересекающиеся прямые, которые образуют прямые углы. Путаница возникает потому, что перпендикулярность описывают через прямой угол. Проверь, о чём говорится: об угле между лучами или о взаимном положении двух прямых.

Связь с другими темами

Для изучения прямого угла нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны. Также полезно уметь измерять углы в градусах: тогда можно распознать прямой угол по значению 90° и сравнить с ним острые и тупые углы. Если градусная мера неизвестна, тот же результат проверки даёт угольник. Эти знания помогают осмысленно читать чертежи и выполнять построения.

Перпендикулярность встречается при изучении прямоугольников и квадратов: их соседние стороны образуют прямые углы. Она нужна и при нахождении расстояния от точки до прямой, и в построениях на плоскости. Умение провести перпендикуляр помогает задавать точное положение линий, а не полагаться на приблизительный рисунок. Поэтому прямой угол становится важным инструментом для дальнейшей геометрии.

Что запомнить

• Прямой угол равен 90°.
• Прямой угол составляет четверть полного угла.
• Прямой угол проверяют с помощью угольника.
• Величина угла не зависит от длины его сторон.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Острый угол меньше прямого, а тупой — больше.