Урок 27.Прямоугольник. Квадрат

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90°. На чертеже это видно по маленькому квадратику у вершины; если его нет, прямоту угла нужно подтвердить условием или измерением. Определение позволяет отличить прямоугольник от других четырёхугольников.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Поэтому у него не только равные стороны, но и четыре прямых угла. Это помогает использовать одновременно свойства прямоугольника и равенство всех сторон.

Соседние стороны прямоугольника — стороны с общей вершиной. Их длины обычно обозначают a и b; одну называют длиной, другую — шириной. Эти обозначения нужны, чтобы записывать формулы и подставлять в них известные измерения.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. У четырёхугольника две диагонали; на чертеже каждая проходит внутри фигуры от одной вершины к противоположной. Диагонали помогают изучать треугольники, на которые разбивается прямоугольник.

Как это устроено

У четырёхугольника четыре угла, а у прямоугольника каждый из них равен 90°. Поэтому сумма углов равна 90° + 90° + 90° + 90° = 360°. Это согласуется с общим свойством четырёхугольников и позволяет проверить, что речь идёт о фигуре с четырьмя прямыми углами.

Проведём диагональ прямоугольника: она образует два треугольника. Противоположные стороны прямоугольника параллельны, поэтому при диагонали возникают равные накрест лежащие углы; сама диагональ у треугольников общая. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны, а значит, соответствующие стороны прямоугольника тоже равны.

Каждая диагональ образует прямоугольный треугольник с соседними сторонами. У двух таких треугольников соответствующие катеты равны, потому что противоположные стороны прямоугольника равны; значит, равны и их гипотенузы — диагонали. Кроме того, диагонали пересекаются и делятся пополам: треугольники по разные стороны точки пересечения равны, поскольку у них равны соответствующие углы и общие элементы.

У прямоугольника прямые углы, но его соседние стороны могут быть разными. У квадрата все стороны равны, и при этом все углы также прямые, поэтому он удовлетворяет определению прямоугольника. Обратное неверно: прямоугольник со сторонами, например, 5 см и 3 см не является квадратом.

Периметр — сумма длин всех сторон фигуры. У прямоугольника две стороны имеют длину a и две — длину b, поэтому P = a + b + a + b = 2(a + b). Сначала складывают длины соседних сторон, а затем удваивают сумму, чтобы учесть обе пары равных сторон.

Сравнение прямоугольника и квадрата

Сравнивайте сначала углы, а затем длины сторон: это помогает не перепутать общее свойство и отличие квадрата. Для вычисления периметра используйте формулу, подходящую к данным фигуры: у прямоугольника нужны две соседние стороны, у квадрата — одна.

Разбор задач

Задача 1. Стороны прямоугольника равны 8 см и 3 см. Найдём его периметр. Эти длины задают две соседние стороны, а противоположные им стороны равны, поэтому достаточно учесть каждую длину дважды.

1. Запишем формулу: P = 2(a + b).
2. Подставим значения: P = 2(8 + 3) = 2 · 11.
3. Вычислим: P = 22 см.

Ответ: 22 см. Проверка: сумма четырёх сторон 8 + 3 + 8 + 3 также равна 22 см.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, одна сторона — 5 см. Чтобы найти вторую сторону, сначала определим сумму двух соседних сторон: периметр включает эту сумму дважды. Затем вычтем известную длину.

1. Обозначим неизвестную сторону b. По формуле периметра получаем 2(5 + b) = 26.
2. Разделим обе части равенства на 2: 5 + b = 13.
3. Вычтем 5: b = 13 − 5 = 8 см.

Ответ: 8 см. Проверим: 2(5 + 8) = 26 см, значит, найденная сторона подходит.

Задача 3. Периметр квадрата равен 36 см. Нужно найти сторону и диагональ. Все четыре стороны квадрата равны, поэтому периметр делим на 4; затем применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному двумя сторонами и диагональю.

1. Найдём сторону: a = 36 ÷ 4 = 9 см.
2. Запишем теорему Пифагора: d² = 9² + 9² = 81 + 81 = 162.
3. Извлечём квадратный корень: d = √162 = 9√2 см, примерно 12,7 см.

Ответ: сторона квадрата — 9 см, диагональ — 9√2 см. Диагональ длиннее стороны, что согласуется с её ролью гипотенузы прямоугольного треугольника.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любой прямоугольник квадратом. Её допускают, потому что у обеих фигур углы прямые, но это ещё не означает равенства соседних сторон. Проверьте длины всех сторон: для квадрата они должны быть равны.

Ошибка: считать равными все стороны прямоугольника. У прямоугольника равны противоположные стороны, а все четыре — только у квадрата; путаница возникает из-за смешения свойств этих фигур. Подпишите стороны на чертеже и сравнивайте пары, лежащие напротив друг друга.

Ошибка: записывать периметр прямоугольника как a + b. Это сумма только двух соседних сторон, а ещё есть две противоположные стороны такой же длины. Проверьте, что в записи учтены все четыре стороны: P = 2(a + b).

Ошибка: считать диагонали прямоугольника перпендикулярными. Они действительно равны и делятся точкой пересечения пополам, но прямой угол между ними есть не у каждого прямоугольника. Не выводите перпендикулярность из равенства диагоналей: проверяйте, дана ли она отдельно или следует из дополнительных условий.

Связь с другими темами

Перед изучением прямоугольников полезно знать виды четырёхугольников и свойства углов. Обозначения отрезков помогают записывать длины сторон и диагоналей, а понятие общей вершины — определять соседние стороны. Эти знания позволяют читать чертёж и понимать условие задачи.

В вычислениях нужны сложение, умножение и простые уравнения. Например, чтобы найти сторону по периметру, нужно преобразовать равенство 2(a + b) = P. Умение выполнять обратные действия помогает проверить результат.

Свойства прямоугольника и квадрата пригодятся при изучении площади фигур и решении задач по теореме Пифагора. Площадь связывает размеры сторон с пространством внутри фигуры, а диагональ квадрата можно найти через его стороны. Поэтому понимание геометрических свойств помогает переходить к новым формулам.

Что запомнить

• У прямоугольника все углы прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
• Квадрат — прямоугольник с равными сторонами.
• Периметр прямоугольника: P = 2(a + b).
• Периметр квадрата: P = 4a.