Урок 27. Увеличение в несколько раз

Определения и обозначения

Увеличение числа в несколько раз — это действие, при котором число умножают на указанное число раз. Например, увеличить 4 в 3 раза — значит найти 4 · 3. Это понятие нужно, когда одинаковое количество повторяется несколько раз.

Кратное сравнение — способ узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Для этого большее число делят на меньшее. Такое сравнение помогает сопоставлять количества, длины и другие величины.

Множитель — число, на которое умножают исходное число при увеличении в несколько раз. В записи 7 · 5 число 5 является множителем, а 7 — исходным числом. По множителю можно понять, сколько одинаковых частей берут.

Частное — результат деления, который показывает, во сколько раз одно число больше другого. Например, в выражении 20 : 4 = 5 частное равно 5. Оно означает, что число 20 содержит по 4 пять раз.

Как это устроено

Увеличение в несколько раз сводится к умножению, потому что одно и то же исходное количество берут несколько раз. Если в каждой группе по 6 предметов, а групп четыре, всего будет 6 + 6 + 6 + 6. Коротко эту сумму записывают так: 6 · 4.

Чтобы записать увеличение числа a в k раз, составляют произведение a · k и вычисляют его. Буква a обозначает исходное число, а k — количество одинаковых частей или множитель. Например, запись «a увеличить в 3 раза» превращается в a · 3.

Число, которое в несколько раз больше данного, находят так: сначала определяют исходное количество, затем множитель. После этого выполняют умножение исходного числа на множитель. Если в первой коробке 8 карандашей, а во второй в 4 раза больше, то во второй будет 8 · 4 карандаша.

Чтобы понять, во сколько раз одно число больше другого, нужно сравнить их делением. Делят большее число на меньшее, потому что выясняют, сколько раз меньшее количество помещается в большем. Если 24 : 6 = 4, это означает: в числе 24 содержатся четыре количества по 6.

Увеличение в несколько раз отличается от увеличения на несколько единиц способом действия. В выражении «увеличить в 5 раз» число умножают на 5, а в выражении «увеличить на 5» к нему прибавляют 5. Например, 6 · 5 = 30, но 6 + 5 = 11, поэтому результаты различны.

Как распознать действие и выбрать вычисление

Сначала найдите в условии слова «в раз», «во сколько раз» или «на единицы». Затем определите, требуется ли новое число, результат сравнения или исходное значение.

Проверьте смысл ответа: при увеличении в несколько раз результат обычно больше исходного, а при кратном сравнении частное показывает количество таких исходных частей.

Разбор задач

Задача 1. Увеличение числа в несколько раз

Условие: увеличьте число 7 в 3 раза. Нужно получить новое число, которое состоит из трёх одинаковых частей по 7. Поэтому здесь используется умножение, а не сложение.

1. Определяем исходное число: 7.
2. Определяем множитель: 3.
3. Составляем произведение и вычисляем: 7 · 3 = 21.

Ответ: 21.

Задача 2. Нахождение числа, которое больше в несколько раз

Условие: в одной коробке 8 карандашей, а в другой — в 4 раза больше. Нужно узнать количество карандашей во второй коробке. Число 8 является исходным количеством, а 4 — множителем.

1. Записываем, сколько карандашей в одной части: 8.
2. Учитываем, что во второй коробке таких частей четыре.
3. Находим общее количество: 8 · 4 = 32.

Ответ: во второй коробке 32 карандаша. Проверка показывает, что 32 : 8 = 4, значит, найденное число действительно в 4 раза больше.

Задача 3. Нахождение исходного числа

Условие: после увеличения в 5 раз число стало равным 45. Известен результат и множитель, но неизвестно исходное число. Так как увеличение выполняли умножением, для обратного поиска применяем деление.

1. Записываем получившийся результат: 45.
2. Делим его на множитель 5: 45 : 5 = 9.
3. Проверяем обратным действием: 9 · 5 = 45.

Ответ: исходное число равно 9.

Типичные ошибки

Иногда «увеличить в 4 раза» принимают за «увеличить на 4». Так происходит из-за похожего звучания выражений. Проверьте себя: слова «в раз» требуют умножения, а слова «на единицы» — сложения.

При кратном сравнении некоторые умножают числа вместо деления. Ошибка появляется, если сосредоточиться на слове «больше», не выяснив вопрос задачи. Проверьте действие вопросом: сколько раз меньшее число помещается в большем — это можно узнать только делением.

При вопросе «во сколько раз больше» иногда делят меньшее число на большее. Такое частное обычно получается меньше единицы и не отвечает смыслу сравнения. Сначала найдите большее число, затем разделите его на меньшее.

В задаче с известным результатом увеличения некоторые снова умножают на множитель. Причина ошибки — механическое применение знакомого действия без поиска неизвестного. Проверьте решение обратным действием: если исходное число найдено делением, его умножение на множитель должно дать известный результат.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уверенно знать таблицу умножения и деления. Также важно различать умножение и сложение, потому что слова «в раз» и «на единицы» требуют разных действий.

Увеличение в несколько раз пригодится в текстовых задачах на сравнение величин и нахождение неизвестного множителя. Эти умения помогают работать с количеством предметов, длиной, массой, стоимостью и другими величинами.

Что запомнить

• Увеличить число в k раз — значит умножить его на k.
• Увеличить число на k единиц — значит прибавить k.
• Чтобы узнать, во сколько раз большее число больше меньшего, большее делят на меньшее.
• Если результат увеличения известен, исходное число находят делением на множитель.
• Сначала выясни, спрашивают ли в задаче «на сколько» или «во сколько раз».