Урок 28. Увеличение в несколько раз

Определения и обозначения

Увеличение в несколько раз — получение нового числа умножением исходного числа на указанное число раз. Например, увеличить 5 в 4 раза значит найти 5 · 4 = 20. Это понятие нужно, когда одна величина состоит из нескольких одинаковых частей исходной величины.

Число в несколько раз больше — число, полученное умножением другого числа на заданный множитель. Если 18 в 3 раза больше 6, то 18 = 6 · 3. Такое выражение помогает связать условие задачи с правильным действием.

Кратное сравнение — сравнение двух чисел с помощью деления, показывающее, во сколько раз одно число больше другого. Чтобы сравнить 24 и 6, вычисляют 24 : 6 = 4. Значит, 24 в 4 раза больше 6.

Как это устроено

Увеличение в несколько раз можно представить как несколько равных групп исходной величины. Если одна группа содержит 6 предметов, то три такие группы содержат 6 + 6 + 6 предметов. Умножение 6 · 3 заменяет это повторяющееся сложение и показывает общее количество быстрее.

Чтобы увеличить число в несколько раз, умножают его на соответствующий множитель, потому что множитель показывает число одинаковых групп. В выражении 8 · 4 число 8 означает размер одной группы, а 4 — сколько таких групп взяли. Поэтому результат равен 32, а не 12: здесь речь идёт о кратном увеличении, а не о прибавлении.

Выражения «увеличить в 3 раза» и «получить число, в 3 раза больше данного» описывают одно действие. В обоих случаях исходное число умножают на 3. Например, если дано 9, то искомое число равно 9 · 3 = 27.

При кратном сравнении нужно делить большее число на меньшее, потому что мы выясняем, сколько раз меньшая величина помещается в большей. Если в одной коробке 20 предметов, а в другой 5, то 20 : 5 = 4. Это означает, что 20 в 4 раза больше 5.

Увеличение в несколько раз отличается от увеличения на несколько единиц действием и смыслом. При увеличении в 3 раза число умножают на 3, а при увеличении на 3 к нему прибавляют 3. Для числа 7 результаты равны соответственно 21 и 10, поэтому слова в условии нужно читать внимательно.

Увеличение и кратное сравнение чисел

Сначала определите, что требуется найти: новое количество или число раз. Затем найдите в таблице подходящую ситуацию и выберите действие. После вычисления проверьте, соответствует ли результат смыслу условия.

Разбор задач

Задача 1

В одной коробке 6 карандашей, а в другой их в 3 раза больше. Требуется узнать количество карандашей во второй коробке. Слово «в 3 раза» показывает, что нужно выполнить умножение.

1. Определяем исходное количество: 6 карандашей.
2. Умножаем его на множитель 3: 6 · 3 = 18.
3. Проверяем: 18 : 6 = 3, значит, результат действительно в 3 раза больше.

Ответ: во второй коробке 18 карандашей.

Задача 2

На первой полке 8 книг, а на второй 40 книг. Нужно узнать, во сколько раз книг на второй полке больше. Известны обе величины, поэтому для кратного сравнения делим большее число на меньшее.

1. Выбираем большее число: 40 книг.
2. Делим его на количество книг на первой полке: 40 : 8 = 5.
3. Проверяем умножением: 8 · 5 = 40.

Ответ: на второй полке книг в 5 раз больше.

Задача 3

В саду 7 яблонь, груш в 4 раза больше, чем яблонь, а слив на 5 меньше, чем груш. Нужно найти общее количество всех деревьев. Здесь сначала находим груши, затем сливы и только после этого складываем три полученных количества.

1. Находим число груш: 7 · 4 = 28.
2. Находим число слив: 28 − 5 = 23.
3. Складываем яблони, груши и сливы: 7 + 28 + 23 = 58.

Ответ: всего в саду 58 деревьев.

Типичные ошибки

При увеличении числа в несколько раз иногда складывают его с множителем: например, считают 6 + 3 вместо 6 · 3. Так происходит из-за смешения выражений «в 3 раза» и «на 3». Проверьте себя вопросом: нужно создать несколько одинаковых групп или прибавить только несколько единиц?

В вопросе «во сколько раз больше?» некоторые вычитают числа. Вычитание показывает, на сколько единиц величины различаются, а не во сколько раз. Если требуется кратное сравнение, составьте частное: большее число разделите на меньшее.

Ошибка появляется и при делении меньшего числа на большее. Частное 8 : 40 не отвечает на вопрос, сколько раз 40 содержит 8. Сначала назовите числа словами: «большее делим на меньшее», а затем выполните вычисление.

Выражение «в 3 раза больше» иногда понимают как «на 3 больше». Это приводит к сложению вместо умножения и даёт другой результат. Для проверки замените слова действием: «в 3 раза» — умножить на 3, «на 3» — прибавить 3.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать таблицу умножения, смысл умножения и деления, сравнение чисел и порядок решения простых текстовых задач. Эти умения помогают выбрать действие по условию, а не только выполнить вычисление.

Позже увеличение в несколько раз встретится в задачах на пропорциональные величины, масштаб, скорость и стоимость. Во всех них важно понимать, какая величина является исходной и во сколько раз она изменяется.

Тема связана с уравнениями. Если неизвестен множитель в произведении, его находят делением произведения на известный множитель: x · 4 = 20, значит x = 20 : 4 = 5.

Что запомнить

• Увеличить число в несколько раз — значит умножить его на заданное число.
• Множитель показывает, во сколько раз увеличивается исходное число.
• Число, увеличенное в 3 раза, в 3 раза больше исходного.
• Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, большее число делят на меньшее.
• Кратное сравнение выполняется делением, а разностное сравнение — вычитанием.
• Выражения «в 4 раза» и «на 4» обозначают разные действия.
• Если множитель больше единицы, результат увеличения должен быть больше исходного числа.