"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Представление информации помогает записать условие задачи так, чтобы его было легче понять и решить. Одни данные удобно изложить словами, другие — собрать в таблицу, третьи — показать схемой. Таблица упорядочивает сведения по строкам и столбцам, а схема отражает связи, последовательность действий или возможные пути. При подсчёте вариантов полезен систематический перебор: все случаи перечисляют по порядку, не пропуская и не повторяя их.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Представление информации — это запись сведений в форме, удобной для решения задачи: словами, таблицей или схемой. Такая запись помогает отделить главное от второстепенного и увидеть, что именно требуется сделать. Один и тот же текст можно преобразовать в более наглядную форму.
Таблица упорядочивает данные по строкам и столбцам. В строках и столбцах указывают признаки объектов, а в клетках записывают соответствующие значения или их сочетания. Это позволяет быстро сравнить данные и найти нужную пару.
Схема наглядно показывает связи между объектами, этапами или возможными вариантами. Линии, стрелки и разветвления помогают увидеть, откуда начинается путь и к чему он приводит. Поэтому не приходится удерживать все связи только в памяти.
Систематический перебор — последовательное перечисление всех подходящих вариантов без пропусков и повторов. Обычно варианты разбивают на группы и рассматривают каждую группу по одному правилу. Такой порядок делает подсчёт проверяемым.
Сначала в условии выделяют известные данные, искомое и ограничения. Известные данные показывают, чем мы располагаем, искомое определяет цель, а ограничения говорят, какие варианты разрешены. Если пропустить хотя бы одно ограничение, в таблицу или схему могут попасть лишние случаи.
Чтобы перенести текст в таблицу, найди два признака, которые нужно сопоставить. Один запиши в заголовках строк, другой — в заголовках столбцов, а затем заполняй клетки по условию. Так каждая клетка отвечает на один ясный вопрос: какое сочетание получится при выборе этой строки и этого столбца?
Схема особенно полезна, когда варианты связаны переходами или идут в определённой последовательности. Сначала отмечают объекты или начальные точки, затем соединяют их линиями и стрелками согласно условию. Разветвления показывают разные возможности, поэтому количество путей можно находить, рассматривая их по отдельности.
При подсчёте вариантов перебор организуют по шагам. Сначала фиксируют один признак, например выбранный сок, и выписывают все допустимые варианты второго признака; затем переходят к следующему соку. После этого проверяют, что каждая группа рассмотрена полностью, а одинаковые сочетания не повторяются.
Выбор способа записи зависит от того, что требуется увидеть. Перечень подходит для небольшого числа вариантов, таблица — для сочетаний двух наборов данных, а схема — для связей, маршрутов и последовательностей. Иногда полезно применить два способа: например, построить схему, а затем проверить её с помощью перечня.
Сначала определи, какие сведения нужно сравнить или подсчитать, затем выбери строку таблицы и проверь результат по последнему столбцу. Если условие описывает несколько признаков, следи, чтобы в каждом заголовке был только один признак.
| Способ | Как организованы сведения | Для чего удобен | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Текст | Данные изложены предложениями в порядке условия | Для краткого описания исходных сведений и ограничений | Все ли важные данные и условия сохранены |
| Таблица | Данные распределены по строкам, столбцам и клеткам | Для сравнения значений и поиска сочетаний | Подписаны ли строки и столбцы, заполнены ли нужные клетки |
| Схема | Объекты соединены линиями или стрелками, варианты разветвляются | Для показа связей, маршрутов и этапов | Соответствуют ли связи условию, нет ли лишних переходов |
| Систематический перечень вариантов | Все случаи записаны по группам и в определённом порядке | Для подсчёта небольшого числа комбинаций | Нет ли пропусков и повторов, учтены ли ограничения |
Ученик выбирает один из трёх соков и один из двух бутербродов. Нужно узнать, сколько разных завтраков можно составить. Завтрак считается разным, если отличается хотя бы соком или бутербродом.
Ответ: 6 разных завтраков.
Из первого города в третий ведут две дороги, а из второго города в третий — три. Требуется посчитать маршруты, начинающиеся в любом из двух исходных городов. Схема с двумя начальными точками показывает, что эти группы маршрутов не пересекаются.
Ответ: 5 маршрутов.
Выбирают один из четырёх цветов фона и одну из трёх надписей. Удобнее построить таблицу: цвета расположить по строкам, а надписи — по столбцам. Каждая заполненная клетка будет одним вариантом оформления.
Ответ: 12 вариантов оформления.
Начинать подсчёт, не выделив все условия. Так часть ограничений легко забыть, и появятся недопустимые варианты. Перед записью подчеркни данные, вопрос и запреты, а затем проверь каждую клетку или ветвь.
Перечислять варианты бессистемно. Переходы между случаями приводят к пропускам и повторам, потому что порядок меняется случайно. Разделяй варианты на группы и обрабатывай группы одинаковым способом.
Неверно выбирать заголовки строк и столбцов. Если признаки смешаны, невозможно понять, что означает клетка. Проверь, отвечает ли каждая клетка сочетанию ровно одного заголовка строки и одного заголовка столбца.
Считать объекты вместо сочетаний. Три сока и два бутерброда — это не пять завтраков, а шесть их комбинаций. Уточни, спрашивает ли задача о предметах по отдельности или о результатах совместного выбора.
Для этой темы нужно уметь извлекать данные из текста, сравнивать числа и выполнять сложение и умножение натуральных чисел. Эти действия превращают описание задачи в понятный план подсчёта.
Таблицы и схемы пригодятся при решении текстовых задач, описании маршрутов и упорядоченном подсчёте вариантов в комбинаторике. В дальнейшем они помогут обосновывать решение и быстро проверять результат.
Как понять, лучше решить задачу с помощью таблицы или схемы?
Таблица удобна, если нужно сравнивать два вида данных или рассматривать их сочетания. Схему выбирают, когда важны связи, маршруты, последовательность действий или переходы между вариантами.
Как правильно выбрать заголовки строк и столбцов?
Определи два признака, по которым соединяются данные в условии. Один признак запиши в заголовках строк, другой — в заголовках столбцов, чтобы каждая клетка обозначала одно конкретное сочетание.
Как проверить, что при переборе не пропущен ни один вариант?
Раздели перебор на одинаковые группы, например по первому выбору, и выписывай варианты в каждой группе по одному правилу. Затем проверь число вариантов в каждой группе и убедись, что группы не пересекаются.
Когда один и тот же вариант считается повторно?
Повтор возникает, если одна и та же комбинация записана дважды или получена разными путями, хотя результат одинаков. Сравнивай варианты полностью, а не только один их элемент.
Можно ли решить задачу несколькими способами представления информации?
Да, одну задачу можно решить перечнем, таблицей или схемой. Нужно выбрать способ, при котором проще увидеть все данные и проверить, что подсчёт выполнен без пропусков и повторов.
Урок 30. Представление информации. Подсчёты и схемы
