Урок 1.Виды треугольников

Определения и обозначения

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Если длины сторон совпадают хотя бы у двух, треугольник уже не будет разносторонним. Это название помогает сразу понять, есть ли у фигуры равные стороны.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равносторонний треугольник — тот, у которого равны все три стороны. Эти определения нужны, чтобы точно описывать фигуру и выбирать подходящие свойства сторон и углов.

Остроугольный треугольник имеет три острых угла, каждый меньше 90°. У прямоугольного один угол равен 90°, а у тупоугольного один угол больше 90°. Такая классификация показывает форму треугольника по углам и помогает проверять, какие значения углов возможны.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Боковые стороны равны между собой; основание не обязано быть равным им. Названия сторон позволяют ясно указывать, о каких частях треугольника идёт речь в задаче.

В прямоугольном треугольнике прямой угол — угол величиной 90°. Две стороны, которые его образуют, называются катетами, а сторона напротив прямого угла — гипотенузой. Это различие нужно, чтобы не путать стороны при решении задач о прямоугольных треугольниках.

Как это устроено

Один и тот же треугольник можно описать по сторонам и по углам, потому что это два разных признака. Первый отвечает на вопрос, равны ли стороны, а второй — какие углы образуют стороны. Поэтому, например, фигура может быть равнобедренной по сторонам и остроугольной по углам. Для полного описания удобно проверять оба признака отдельно.

Чтобы определить вид по сторонам, сравнивают длины всех трёх сторон. Если равных длин нет, треугольник разносторонний; если совпадают две длины — равнобедренный; если совпадают все три — равносторонний. Такое сравнение делит возможные случаи по числу равных сторон. Положение треугольника на листе при этом ничего не меняет.

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Два прямых угла уже дали бы 180°, и на третий угол не осталось бы величины, поэтому двух прямых углов быть не может. Если бы углов было два тупых, их сумма оказалась бы больше 180°. Значит, прямой или тупой угол может быть только один.

В равностороннем треугольнике все углы равны, потому что напротив равных сторон лежат равные углы. Три одинаковых угла вместе дают 180°, поэтому каждый равен 60° и является острым. Все три стороны равны, а значит, любые две из них тоже равны: по принятому определению такой треугольник одновременно равнобедренный.

Классификация по сторонам и по углам не создаёт одну общую группу, где нужно выбрать только одно название. Сначала можно установить число равных сторон, а затем проверить величины углов. Так у одной фигуры появляются две характеристики, например равнобедренный и прямоугольный треугольник. Если известны равные углы, равенство противоположных им сторон помогает определить вид по сторонам.

Виды треугольников по сторонам и углам

Сначала выберите нужный признак: стороны или углы. Затем найдите в таблице подходящее свойство и сравните с ним данные задачи. Один треугольник может подходить к одной строке из каждой группы.

Разбор задач

У треугольника стороны 4 см, 5 см и 6 см. Определите его вид по сторонам.

1. Сравним длины: 4 см не равны 5 см, 5 см не равны 6 см и 4 см не равны 6 см.
2. Все три стороны имеют разную длину, значит, подходит определение разностороннего треугольника.

Ответ: треугольник разносторонний.

У треугольника два угла равны 45° и 45°. Определите его вид по углам и сторонам.

1. Найдём третий угол: 180° − 45° − 45° = 90°.
2. У треугольника есть прямой угол, поэтому по углам он прямоугольный.
3. Два угла равны. Напротив равных углов лежат равные стороны, поэтому по сторонам треугольник равнобедренный.

Ответ: треугольник прямоугольный и равнобедренный.

Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, а основание — 10 см. Определите вид по сторонам и выясните, может ли треугольник быть прямоугольным.

1. Вычтем основание из периметра: 26 − 10 = 16 см приходится на две равные боковые стороны.
2. Длина каждой боковой стороны равна 16 : 2 = 8 см. Получаются стороны 8 см, 8 см и 10 см: треугольник равнобедренный, но не равносторонний.
3. Если бы он был прямоугольным, прямой угол должен был бы находиться между равными сторонами: два других угла равны, а вместе с прямым дают 180°. Тогда основание было бы гипотенузой, и для катетов 8 см её квадрат должен был бы равняться 8² + 8² = 128.
4. Но квадрат основания равен 10² = 100, а не 128. Следовательно, такие стороны не образуют прямоугольный треугольник.

Ответ: треугольник равнобедренный, прямоугольным быть не может.

Типичные ошибки

Иногда равнобедренным называют только треугольник, у которого равные стороны нарисованы наклонно. Это происходит, когда название связывают с привычным видом картинки, а не с определением. Положение фигуры можно изменить, не меняя её сторон. Проверьте себя: сравните длины сторон, а не их направление на рисунке.

Широкий на вид угол не всегда тупой: изображение может быть неточным или нарисованным под наклоном. По впечатлению легко ошибиться, особенно если угол близок к 90°. Ориентируйтесь на условие или измерьте угол транспортиром. Проверка в градусах надёжнее зрительной оценки.

Предположение о двух прямых или двух тупых углах противоречит сумме углов треугольника. Эту ошибку допускают, если рассматривают углы по отдельности и забывают про оставшийся угол. Сложите известные величины: все три вместе должны дать 180°. Для двух тупых сумма уже превысит это число.

Нельзя считать виды по сторонам и углам взаимоисключающими: один треугольник получает название по каждому признаку. Путаница возникает, когда все термины воспринимают как одну общую классификацию. Спросите себя отдельно, равны ли стороны и каковы углы. Например, треугольник может быть равнобедренным и прямоугольным.

Связь с другими темами

Для работы с треугольниками нужно знать, что такое сторона, вершина и угол, а также уметь сравнивать длины отрезков и величины углов. Эти понятия дают язык, на котором формулируют определения и условия задач. Если величина не указана, её можно измерить подходящим инструментом.

Сумма углов треугольника помогает находить неизвестный угол и определять вид фигуры. Например, по двум известным углам вычисляют третий, вычитая их сумму из 180°. Это правило пригодится в задачах, где нужно анализировать несколько углов.

Классификация становится основой для изучения свойств и признаков равенства равнобедренных и прямоугольных треугольников. Названия сторон и углов позволяют применять эти свойства без путаницы. Позже они помогут обосновывать решения, а не только угадывать форму по рисунку.

Что запомнить

• Треугольники классифицируют по сторонам и по углам.
• У разностороннего треугольника все стороны различны.
• У равнобедренного треугольника две стороны равны.
• У равностороннего треугольника все стороны равны.
• У остроугольного треугольника все углы острые.
• В треугольнике может быть только один прямой или тупой угол.
• Равносторонний треугольник является равнобедренным и остроугольным.