"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Треугольники различают по двум признакам: длинам сторон и величинам углов. По сторонам фигура бывает разносторонней, равнобедренной или равносторонней, а по углам — остроугольной, прямоугольной или тупоугольной. Эти названия не исключают друг друга: например, треугольник может быть одновременно равнобедренным и тупоугольным. Классификация помогает описывать фигуру, выбирать подходящие свойства и решать геометрические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Чтобы распознать его, достаточно сравнить длины трёх сторон: совпадений быть не должно. Это название помогает описать фигуру именно по сторонам, не делая выводов о её углах.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Такое обозначение удобно, когда нужно указать, какие стороны равны, или рассуждать о свойствах углов при основании.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого равны все три стороны. Если длины сторон обозначены буквами a, b и c, то для него верно a = b = c. Определение позволяет сразу узнать, что равны не только любые две стороны, но и все стороны фигуры.
Остроугольный треугольник имеет три острых угла, то есть каждый угол меньше 90°. Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, равный 90°, а тупоугольный — один тупой угол, больший 90°. Эти названия описывают форму треугольника по углам и помогают выбрать нужные свойства при решении задач.
Классификация по сторонам и классификация по углам основаны на разных признаках. В первом случае сравнивают длины отрезков, во втором — величины углов. Поэтому одно название не мешает другому: треугольник может быть, например, разносторонним и прямоугольным одновременно.
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Если бы в нём было два прямых угла, они уже дали бы 180°, и для третьего угла не осталось бы места. Два тупых угла в сумме больше 180°, поэтому они тоже невозможны; по той же причине тупой угол может быть только один.
Равенству сторон соответствуют равные углы, лежащие напротив этих сторон: если две стороны треугольника равны, то равны и противоположные им углы. Верно и обратное: против равных углов лежат равные стороны. Эта связь помогает находить неизвестные элементы и проверять, подходит ли фигура под определение равнобедренного треугольника.
В равностороннем треугольнике каждая сторона равна двум другим, поэтому он удовлетворяет определению равнобедренного. Против трёх равных сторон лежат три равных угла, а их сумма составляет 180°. Значит, каждый угол равен 60° и является острым, поэтому равносторонний треугольник также остроугольный.
По точным данным вид треугольника устанавливают сравнением сторон или измерением углов, а по чертежу сначала ищут отметки равных сторон и прямых углов. Если таких данных нет, нельзя полагаться только на внешний вид: рисунок мог быть построен неточно. Когда известны длины сторон, для определения вида по углам можно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух остальных.
| Признак классификации | Вид треугольника | Определение |
|---|---|---|
| По сторонам | Разносторонний | Все три стороны имеют разную длину. |
| По сторонам | Равнобедренный | Две стороны равны; они называются боковыми, третья — основанием. |
| По сторонам | Равносторонний | Все три стороны равны. |
| По углам | Остроугольный | Все три угла острые. |
| По углам | Прямоугольный | Один угол равен 90°. |
| По углам | Тупоугольный | Один угол больше 90°. |
Сначала выберите признак, указанный в задаче: сравнение длин отвечает на вопрос о виде по сторонам, а углы — по углам. Если нужно назвать треугольник полностью, проверьте оба признака отдельно. Так можно дать два названия одной фигуре, например «разносторонний прямоугольный».
Задача 1. У треугольника стороны 4 см, 5 см и 6 см. Определить его вид по сторонам. Нужно выяснить, совпадают ли какие-нибудь длины; для этого сравним все три числа, не предполагая заранее, что фигура относится к определённому виду.
Ответ: разносторонний треугольник.
Задача 2. У равнобедренного треугольника угол при вершине равен 40°. Найти углы при основании и определить вид треугольника по углам. Так как равны боковые стороны, углы напротив них — углы при основании — тоже равны. Их сумма вместе с углом при вершине должна составить 180°.
Ответ: углы при основании равны 70°; треугольник остроугольный.
Задача 3. У треугольника стороны 5 см, 12 см и 13 см. Определить его вид по сторонам и углам. Сначала сравним стороны, а для углов используем обратное следствие теоремы Пифагора: если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
Ответ: разносторонний прямоугольный треугольник.
Ошибка — считать названия по сторонам и углам взаимоисключающими. Так думают, когда воспринимают их как один общий список, хотя они описывают разные свойства фигуры. Проверьте себя: отдельно сравните длины сторон, а затем изучите углы; полученные названия могут сочетаться.
Иногда равнобедренным называют только треугольник, у которого равны ровно две стороны. Но в обычном определении достаточно того, что равны хотя бы две стороны, поэтому равносторонний треугольник тоже подходит. Для проверки спросите себя, выполняется ли условие «есть две равные стороны», а не «только две равные стороны».
Нельзя предполагать, что в треугольнике бывают два прямых или два тупых угла. Причина ошибки — забытая сумма углов 180°: два прямых уже исчерпали бы её, а два тупых превысили бы. Сложите известные углы или сравните их сумму с 180°, оставив место для третьего угла.
Определять вид по углам только на глаз по рисунку ненадёжно: чертёж может быть неточным, а небольшой угол трудно оценить. Проверяйте обозначения прямого угла, данные задачи и известные свойства, а не только внешний вид. Если измерения не даны, не приписывайте углу точное значение по рисунку.
Для изучения видов треугольников нужно уметь распознавать стороны и углы, сравнивать их и знать, что сумма углов треугольника равна 180°. Без этих знаний нельзя надёжно определить тип фигуры и найти неизвестный угол. Новая классификация, в свою очередь, помогает применять свойства равнобедренных и прямоугольных треугольников.
В дальнейших геометрических задачах названия треугольников подсказывают, какие равенства можно использовать. Например, равнобедренность связывает стороны с углами при основании, а прямоугольный вид сообщает о наличии угла 90°. Поэтому умение классифицировать фигуры становится опорой для доказательств и вычислений.
Может ли равносторонний треугольник быть равнобедренным?
Да. У равностороннего треугольника все три стороны равны, а значит, среди них есть и две равные стороны. Поэтому он подходит под определение равнобедренного.
Может ли один треугольник быть одновременно разносторонним и прямоугольным?
Да, эти названия относятся к разным признакам. Разносторонним треугольник называют по длинам сторон, а прямоугольным — по величинам углов.
Почему у треугольника не бывает двух тупых углов?
Тупой угол больше 90°. Два таких угла в сумме дали бы больше 180°, но сумма всех углов треугольника равна 180°. Значит, двух тупых углов быть не может.
Как определить вид треугольника, если известны только длины его сторон?
По сторонам сравните три длины: все разные — треугольник разносторонний, две равные — равнобедренный, все три равны — равносторонний. Вид по углам можно установить по длинам, сравнив квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других: равенство указывает на прямой угол, меньший квадрат — на острые углы, больший — на тупой угол.
Обязательно ли равнобедренный треугольник является остроугольным?
Нет. У равнобедренного треугольника один угол может быть тупым, например угол при вершине. Название «равнобедренный» сообщает о сторонах, а не о величинах углов.
Урок 2.Виды треугольников
