"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Треугольники различают по длинам сторон и величинам углов. По сторонам фигура бывает равнобедренной, равносторонней или разносторонней, а по углам — остроугольной, прямоугольной или тупоугольной. Классификация помогает быстро описывать фигуру и выбирать подходящие свойства для решения задач. Один треугольник можно отнести сразу к двум видам: например, назвать его равнобедренным по сторонам и прямоугольным по углам. Чтобы сделать это правильно, нужно сравнить стороны или измерить углы и помнить, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Такое название помогает заметить пары равных элементов и применять связанные с ними свойства.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Все его углы также равны, и каждый из них составляет 60°. Это определение позволяет сразу узнать и длины сторон, и величины углов фигуры.
Разносторонний треугольник — треугольник, у которого длины всех сторон различны. Ни одну пару сторон в нём нельзя назвать равной. Это название удобно, когда при сравнении длин не находится совпадающих.
По величине углов треугольники называют остроугольными, прямоугольными или тупоугольными. У остроугольного все углы меньше 90°, у прямоугольного один угол равен 90°, а у тупоугольного один угол больше 90°. Такое деление показывает, какой угол определяет вид фигуры.
Чтобы разделить треугольники по сторонам, сравнивают длины всех трёх сторон. Если равны ровно две, треугольник равнобедренный; если равны все три — равносторонний; если все длины разные — разносторонний. Эти случаи охватывают все возможности: две равные стороны уже не позволяют назвать треугольник разносторонним, а равенство всех трёх включает равенство любой пары.
Равносторонний треугольник одновременно подходит и под определение равнобедренного, потому что в нём, в частности, есть две равные стороны. Чтобы найти величину угла, используем два факта: все три угла равны, а их сумма равна 180°. Значит, на каждый угол приходится 180° : 3 = 60°. Поэтому равенство сторон помогает узнать не только вид треугольника по сторонам, но и его углы.
Деление по углам связано с суммой углов треугольника, равной 180°. Если один угол прямой, он равен 90°, а два оставшихся вместе дают 90° и оба являются острыми. Если угол тупой, он уже больше 90°, поэтому два других вместе меньше 90° и тоже острые. Когда прямого и тупого угла нет, каждый из трёх углов острый — треугольник остроугольный.
Два прямых угла дали бы в сумме 90° + 90° = 180°, а третьему углу пришлось бы равняться нулю. У настоящего треугольника такого угла быть не может. Два тупых угла уже по отдельности больше 90°, поэтому их сумма превысила бы 180° ещё до учёта третьего угла. Отсюда следует, что прямой или тупой угол может быть только один.
Классификация по сторонам и по углам отвечает на разные вопросы: равны ли стороны и какие углы у фигуры. Поэтому одно название не мешает другому. Сначала можно сравнить стороны и определить, например, равнобедренный ли треугольник, а затем изучить его углы и выяснить, прямоугольный ли он. Получившиеся два названия описывают одну и ту же фигуру с разных сторон.
| Вид треугольника | Определяющий признак | Что можно сказать об углах |
|---|---|---|
| Равносторонний | Все три стороны равны. | Все углы равны 60°. |
| Равнобедренный | Две стороны равны; третья — основание. | Углы при основании равны. |
| Разносторонний | Все стороны имеют разную длину. | Углы могут быть острыми; вид по углам определяют отдельно. |
| Остроугольный | Все углы меньше 90°. | Все три угла острые. |
| Прямоугольный | Один угол равен 90°. | Остальные два угла острые. |
| Тупоугольный | Один угол больше 90°. | Остальные два угла острые. |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала решите, по какому признаку требуется определить вид: по сторонам или по углам. Затем сопоставьте данные о треугольнике с определяющим признаком в нужной строке. Если нужно описать фигуру полностью, проверьте её и по сторонам, и по углам.
Задача 1. Определить вид треугольника по сторонам, если их длины равны 5 см, 5 см и 8 см. Сначала выясним, совпадают ли длины всех сторон или только некоторых. Для этого сравним числа 5, 5 и 8, не делая вывод по одному лишь виду записи. Затем применим определение подходящего вида.
Ответ: равнобедренный треугольник.
Задача 2. Определить вид треугольника по углам, если они равны 35°, 55° и 90°. Для классификации не нужно искать самый маленький угол или сравнивать все углы попарно. Достаточно проверить, есть ли прямой угол. Убедимся также, что указанные величины согласуются с суммой углов треугольника.
Ответ: прямоугольный треугольник.
Задача 3. У треугольника стороны 6 см, 6 см и 6 см. Определить его виды по сторонам и по углам. Здесь важно выполнить два отдельных шага: сначала классифицировать стороны, а затем использовать свойство полученного вида, чтобы узнать углы. Так можно не ограничиваться названием только по длинам.
Ответ: по сторонам треугольник равносторонний, по углам — остроугольный.
Ошибка — назвать треугольник равносторонним, когда равны только две стороны. Так происходит, если не сравнить третью сторону с остальными. Проверьте длины всех трёх сторон: для равностороннего треугольника равенство должно выполняться для каждой пары.
Иногда треугольник с двумя равными сторонами называют разносторонним, потому что одну отличающуюся сторону замечают раньше равной пары. Это противоречит определению разностороннего треугольника. Чтобы проверить себя, выпишите все три длины и убедитесь, что ни одна пара не совпадает, прежде чем выбирать это название.
При определении вида по углам можно ошибочно ориентироваться только на наличие острых углов. Острые углы встречаются и у прямоугольных, и у тупоугольных треугольников, поэтому сами по себе они вид не определяют. Сначала найдите прямой угол или угол больше 90°; только если таких нет, называйте треугольник остроугольным.
Нельзя утверждать, что у треугольника два прямых или два тупых угла. Эту ошибку допускают, забывая, что все углы вместе дают 180°. Сложите предполагаемые углы: два прямых уже занимают всю сумму, а два тупых её превышают, поэтому в обоих случаях третьего допустимого угла не остаётся.
Для этой темы нужно уметь находить стороны и углы треугольника, сравнивать отрезки и измерять углы. Понадобится и правило о том, что сумма углов треугольника равна 180°: оно помогает распознавать виды по углам и проверять результаты. Позже классификация пригодится при изучении свойств равнобедренных и прямоугольных треугольников. Она также помогает решать задачи на построение, нахождение углов и распознавание геометрических фигур.
Может ли равносторонний треугольник быть равнобедренным?
Да. У равностороннего треугольника все три стороны равны, а значит, среди них есть и две равные стороны. Поэтому он подходит под определение равнобедренного.
Как быстро определить вид треугольника по его углам?
Посмотрите, есть ли среди углов прямой или тупой. Если один угол равен 90°, треугольник прямоугольный; если один угол больше 90° — тупоугольный. Если все три угла меньше 90°, он остроугольный.
Может ли треугольник иметь два прямых или два тупых угла?
Нет, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Два прямых угла уже дали бы 180°, не оставив места третьему, а два тупых в сумме превысили бы 180°.
Можно ли один треугольник назвать сразу равнобедренным и прямоугольным?
Да, эти названия описывают разные признаки: первое относится к сторонам, второе — к углам. Например, если у треугольника две стороны равны и есть угол 90°, он одновременно равнобедренный и прямоугольный.
Чем равнобедренный треугольник отличается от равностороннего?
У равнобедренного треугольника равны две стороны, а третья может иметь другую длину. У равностороннего равны все три стороны. Поэтому равносторонний треугольник также является равнобедренным.
Урок 3.Виды треугольников
