"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение двузначных чисел столбиком помогает быстро находить произведение, когда вычислять в уме неудобно. Первый множитель по очереди умножают на единицы и десятки второго, а полученные неполные произведения складывают. Результат умножения на десятки записывают со сдвигом влево на один разряд: ведь цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки. Чтобы не ошибиться, нужно следить за переносами, выравнивать числа по разрядам и проверять, разумен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение двузначных чисел столбиком — письменный способ найти произведение, отдельно умножая первый множитель на единицы и десятки второго множителя. Например, в записи 24 · 13 сначала рассматривают умножение 24 на 3, а затем — на 1 десяток. Такой способ нужен, когда вычисление в уме становится неудобным и важно видеть каждый шаг.
Первое неполное произведение — результат умножения первого множителя на цифру единиц второго множителя. В примере 24 · 13 это 24 · 3 = 72. Оно называется неполным, потому что учитывает только единицы второго множителя и само по себе ещё не является ответом.
Второе неполное произведение — результат умножения первого множителя на цифру десятков второго множителя; его записывают со сдвигом на один разряд влево. В 24 · 13 нужно умножить 24 на 1 десяток, то есть на 10, и получить 240. Этот шаг учитывает десятки, которые пропускаются при вычислении первого неполного произведения.
Разрядный сдвиг — запись результата умножения на десятки так, чтобы цифра единиц оказалась в разряде десятков. Поэтому в столбике второй результат располагают на одну позицию левее первого. Сдвиг помогает сохранить значение числа и правильно сложить единицы с единицами, а десятки с десятками.
Любое двузначное число можно представить как сумму десятков и единиц. Например, 13 — это 3 + 10, поэтому 24 · 13 = 24 · (3 + 10) = 24 · 3 + 24 · 10. Так распределительное свойство умножения объясняет, почему достаточно найти два неполных произведения и сложить их.
Сначала первый множитель умножают на цифру единиц второго множителя. Действуют по обычному правилу умножения в столбик: перемножают цифры, записывают цифру единиц результата, а десятки переносят к следующему разряду. Перенос нужен потому, что, например, 16 единиц — это 1 десяток и 6 единиц, а не только 6 единиц.
Затем первый множитель умножают на цифру десятков второго множителя. Полученное число относится к десяткам, потому что на самом деле множитель равен не просто этой цифре, а числу десятков: например, 2 десятка — это 20. Поэтому результат начинают записывать со сдвигом на один разряд влево, сохраняя правильное значение.
После этого неполные произведения складывают. Чтобы единицы не смешались с десятками, цифры каждого разряда должны стоять одна под другой; сложение начинают с единиц. Если сумма в разряде больше 9, десяток переносят в следующий разряд, как при обычном сложении.
Полученное произведение полезно оценить до проверки столбика по шагам. Для этого множители округляют и прикидывают результат, например 28 · 34 близко к 30 · 30, то есть примерно к 900. Более точную проверку можно выполнить обратным действием: разделить произведение на один из множителей или повторить умножение другим способом.
| Этап | Что сделать | Как записать |
|---|---|---|
| Умножение на единицы второго множителя | Умножить первый множитель на цифру единиц, учитывая переносы. | Записать первое неполное произведение. |
| Умножение на десятки второго множителя | Умножить первый множитель на цифру десятков. | Записать второе неполное произведение. |
| Разрядный сдвиг второго неполного произведения | Учесть, что множитель обозначает десятки. | Сдвинуть запись на один разряд влево. |
| Сложение неполных произведений | Сложить результаты, начиная с разряда единиц. | Выровнять цифры по разрядам, учитывать переносы. |
| Проверка результата | Оценить ответ или выполнить обратное действие. | Сравнить произведение с оценкой либо проверить делением. |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу только после того, как записал результат предыдущего. Особое внимание удели строкам про сдвиг и сложение: именно там легко перепутать разряды. В конце проверь, что ответ близок к приблизительной оценке.
Ответ: 24 · 12 = 288. Проверка оценкой: 24 · 12 близко к 20 · 10 = 200, а точный ответ больше этой грубой оценки, что закономерно для таких округлений.
Ответ: 37 · 26 = 962. Оценка 40 · 30 = 1200 грубая, но даёт ориентир: ответ должен быть близок к тысяче. Число 962 этому ориентиру соответствует.
Ответ: в 34 рядах 952 кресла. Для оценки округлим множители: 28 · 34 близко к 30 · 30 = 900. Результат 952 близок к 900, поэтому он правдоподобен.
Второе неполное произведение иногда записывают без сдвига, потому что цифру десятков принимают за обычное число единиц. Тогда вместо умножения на 20 фактически учитывают умножение на 2. Проверь себя: разложи второй множитель на десятки и единицы и спроси, во сколько раз результат умножения на десятки больше произведения без сдвига.
Другая ошибка — складывать неполные произведения, не выравнивая их по разрядам. Она возникает, если смотреть на цифры, а не на их места в числе: единицы могут оказаться под десятками. Перед сложением проверь столбики единиц, десятков и сотен; при сомнении подпиши разряды над числами.
При умножении цифр можно забыть перенести десяток или прибавить его не к той цифре. Обычно это происходит, когда переходят к следующему разряду, не записав перенос над нужным местом. Проверяй каждый шаг отдельно: умножь цифры, запиши единицы результата, а десятки сразу отметь для следующего разряда.
При сложении в конце можно забыть одно неполное произведение или неверно перенести разряд. Такое случается, если торопиться и переходить к ответу, не сверив записи. Пересчитай сумму по разрядам, убедись, что сложены оба числа, и сравни результат с примерной оценкой произведения.
Чтобы уверенно умножать двузначные числа, нужно уметь умножать многозначное число на однозначное, учитывать переносы и складывать по разрядам. Разложение числа на разрядные слагаемые и распределительное свойство объясняют, почему достаточно найти два неполных произведения. Тот же письменный алгоритм пригодится при умножении многозначных чисел и вычислении выражений, а в задачах он помогает находить количество предметов в одинаковых группах.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Цифра десятков второго множителя обозначает количество десятков, поэтому умножение на неё означает умножение на число, кратное 10. Например, умножение на 3 десятка — это умножение на 30. Поэтому результат записывают на один разряд левее.
Нужно ли писать ноль в начале второго неполного произведения?
В обычной записи столбиком отдельный ноль часто не пишут: сдвиг показывают тем, что второе неполное произведение начинают под разрядом десятков. Если записать ноль в разряде единиц, смысл будет тем же. Главное — правильно выровнять цифры перед сложением.
Что делать, если при умножении цифр получается число больше 9?
В разряд записывают цифру единиц полученного числа, а десятки переносят в следующий разряд. При следующем умножении перенос прибавляют к результату. Например, при умножении 7 на 8 получается 56: записывают 6, а 5 переносят.
В каком порядке складывать неполные произведения?
Сначала расположите их так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и так далее. Затем сложите числа, начиная с разряда единиц, и учитывайте переносы. Порядок слагаемых можно поменять, но выравнивание разрядов обязательно.
Как быстро проверить результат умножения столбиком?
Для быстрой оценки округлите множители и сравните результат с их приблизительным произведением. Точнее проверить вычисление можно повторным умножением или делением произведения на один из множителей: должно получиться другое число. Если оценка сильно отличается от ответа, проверьте сдвиг и переносы.
Урок 31.Умножение двузначного числа на двузначное (письменные вычисления)
