"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Письменное умножение двузначных чисел помогает находить произведение без длинного счёта в уме. Второй множитель раскладывают на десятки и единицы, по очереди умножают на каждую часть, а полученные неполные произведения складывают. При записи важно учитывать перенос десятков и сдвиг результата умножения на десятки. Этот алгоритм полезен не только для вычислений столбиком: он показывает, почему действует привычное правило, и помогает проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное умножение двузначных чисел — способ вычисления, при котором находят произведения на единицы и десятки второго множителя, а затем складывают их. Например, при умножении на 14 отдельно учитывают 4 и 10. Такой способ заменяет громоздкий счёт в уме понятными шагами и позволяет проверять каждый промежуточный результат.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одну из разрядных частей второго множителя. В примере 23 · 14 такими произведениями будут 23 · 4 и 23 · 10. Их считают отдельно, чтобы не смешивать единицы и десятки, а затем складывают.
Разрядная часть числа — слагаемое, выражающее число десятков или единиц; например, 34 = 30 + 4. Здесь 30 — часть, содержащая десятки, а 4 — часть, содержащая единицы. Разложение помогает увидеть, на какие числа нужно умножать и почему у второго множителя в столбике две строки.
Смещение записи неполного произведения на один разряд влево показывает, что его умножили на десятки, а не на единицы. Например, результат умножения на 30 записывают начиная со столбца десятков. Это обозначение помогает правильно сложить полученные числа и не принять десятки за единицы.
Письменный способ основан на разложении двузначного множителя на десятки и единицы и распределительном свойстве умножения. Это свойство позволяет умножить число на сумму частей по отдельности, а результаты сложить: 23 · 14 = 23 · (10 + 4) = 23 · 10 + 23 · 4. Так большой пример становится двумя более простыми умножениями.
Сначала находят произведение на число единиц второго множителя. Его записывают под чертой, начиная с разряда единиц, потому что единицы умножаются на единицы и должны оказаться в крайнем правом столбце. Затем вычисляют, если нужно, десятки и сотни этого неполного произведения. Если при умножении одного разряда получается двузначное число, его цифру единиц записывают в текущий разряд, а цифру десятков переносят в следующий.
Второе неполное произведение получают при умножении на число десятков. Его начинают записывать со столбца десятков: например, умножение на 30 в десять раз больше умножения на 3. Поэтому запись сдвигают на один разряд влево, а не ставят первую цифру результата под единицами. Сдвиг показывает разрядное значение результата и помогает избежать ошибки при сложении.
После двух умножений складывают неполные произведения. Для этого цифры каждого разряда располагают друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Тогда сложение столбиком сохраняет правильное значение каждой цифры. Полученная сумма и есть произведение исходных множителей, потому что второй множитель был представлен суммой своих частей.
Результат можно проверить другим способом: разложить второй множитель и выполнить вычисление по частям либо прикинуть, какого порядка ответ должен получиться. Прикидка не заменяет точный счёт, но обнаруживает грубые ошибки: например, если произведение чисел около 40 и 30 оказалось меньше 100 или больше 10 000. Сравнение с удобным округлённым примером помогает быстро оценить правдоподобие ответа.
| Этап | Что умножаем | Как записываем | Что учитываем |
|---|---|---|---|
| Первое неполное произведение: на единицы второго множителя | Первый множитель на цифру единиц | Начинаем с разряда единиц | Десятки переносим в следующий разряд |
| Второе неполное произведение: на десятки второго множителя | Первый множитель на число десятков | Начинаем со столбца десятков | Цифра десятков означает число, кратное 10 |
| Сложение неполных произведений | Полученные результаты | Записываем столбиком по разрядам | Единицы, десятки и сотни должны совпадать по столбцам |
| Проверка результата | Ответ и оценку произведения | Сравниваем с вычислением по частям или прикидкой | Ответ должен быть близок к оценке |
Пользуйся таблицей как планом вычисления: сначала найди оба неполных произведения, затем сложи их по разрядам. Перед записью второй строки проверь, что учёл десятки второго множителя и начал запись со столбца десятков. В конце оцени ответ прикидкой или повтори вычисление через разложение на разрядные части.
Число 13 состоит из 10 и 3, поэтому нужно умножить 24 сначала на 3, затем на 10. Первое произведение даст результат для единиц, второе — для десятков. Сложив их, получим искомое произведение.
Проверка разложением подтверждает ход решения: 24 · 13 = 24 · (10 + 3) = 240 + 72. Ответ: 312.
Второй множитель раскладываем на 20 и 6: умножим 38 на каждую часть. При умножении на 6 перенос особенно важен: 6 · 8 = 48, поэтому 8 единиц записываем, а 4 десятка прибавляем при умножении десятков. Затем отдельно учитываем, что 2 в числе 26 обозначает 20.
Можно проверить разложением: 38 · 26 = 38 · (20 + 6) = 760 + 228. Ответ: 988.
Цифра 3 в числе 35 означает 30, поэтому умножаем 47 на 5 и на 30, а не на 3. В первом произведении при умножении единиц возникнут десятки, которые нужно перенести. После сложения оценим ответ, заменив 47 близким удобным числом 50.
Прикидка подтверждает порядок результата, а вычисление по частям даёт точное значение. Ответ: 1645.
Второе неполное произведение иногда записывают под разрядом единиц, забывая сдвинуть его влево. Так поступают, если воспринимают цифру десятков как обычную единицу, но из-за этого результат уменьшается в десять раз. Проверь себя: при умножении 24 на 13 строка для 10 должна давать 240, а не 24.
Другая ошибка — не перенести десятки, получившиеся при умножении отдельного разряда. Например, в вычислении 8 · 6 = 48 нельзя записать только 8 и потерять 4 десятка. Переносят их в следующий разряд и прибавляют к следующему произведению. Проверка обратным разложением на десятки и единицы помогает обнаружить пропуск.
Если цифры неполных произведений при сложении не выровнены по разрядам, единицы могут попасть под десятки, а десятки — под сотни. Это происходит, когда столбцы выстраивают по краю записи, а не по значению цифр. Проверь, стоят ли единицы под единицами, десятки под десятками и сотни под сотнями; затем оцени порядок полученной суммы.
Иногда умножают на цифру десятков, но забывают, что она обозначает десятки: 3 в числе 35 — это 30, а не 3. Из-за этого оба неполных произведения оказываются одинаково устроены, хотя второе должно быть в десять раз больше произведения на 3. Сверь вычисление с разложением 35 = 30 + 5 и прикинь итог: ответ должен быть близок к произведению исходных чисел.
Для письменного умножения нужно уметь умножать многозначное число на однозначное, складывать столбиком и раскладывать двузначное число на десятки и единицы. Эти навыки входят в сам алгоритм: сначала вычисляют два произведения на однозначные числа, а затем складывают их. Позже тот же принцип применяется при умножении многозначных чисел. Он также помогает решать задачи, в которых требуется быстро найти произведение двузначных чисел.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе произведение получают при умножении на десятки, а не на единицы. Например, цифра 3 в числе 35 обозначает 30, поэтому произведение на неё в десять раз больше произведения на 3. Сдвиг записи на один разряд влево показывает это увеличение.
С какого разряда начинать умножение на цифру единиц?
Начинай с разряда единиц первого множителя и двигайся влево. Если при умножении получаются десятки, запиши единицы результата в текущий разряд, а десятки перенеси в следующий.
Что делать, если при умножении разряда получились десятки?
Запиши цифру единиц полученного числа в текущий разряд. Десятки прибавь к результату умножения следующего разряда.
Почему неполные произведения нужно складывать?
Каждое неполное произведение показывает результат умножения на одну часть второго множителя — единицы или десятки. Вместе эти части составляют весь второй множитель, поэтому их произведения складывают, получая полный результат.
Как проверить ответ, не выполняя умножение заново?
Округли множители до удобных чисел и прикинь примерный результат. Например, 47 · 35 близко к 50 · 35 = 1750. Точный ответ должен быть рядом с этой оценкой.
Урок 30.Умножение двузначного числа на двузначное (письменные вычисления)
