"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, которая сужается к одной вершине. Его можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Чтобы описывать конус и решать задачи, нужно различать радиус основания, высоту и образующую: у прямого кругового конуса они связаны теоремой Пифагора. Формулы площади и объёма помогают вычислять, сколько материала нужно для поверхности и сколько места занимает тело.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и конической боковой поверхностью, которая сужается к одной точке. В отличие от цилиндра, у которого два круга-основания, у конуса одно основание и одна вершина. Это различие помогает представить форму тела и понять, какие части нужно учитывать в задачах.
Вершина конуса — точка, не лежащая в плоскости основания, из которой выходят образующие. Она задаёт верхнюю точку тела, а расстояние от неё до основания связано с высотой конуса. У прямого кругового конуса вершина находится над центром основания.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. У прямого кругового конуса все образующие равны, поэтому достаточно обозначить их общую длину буквой l. Образующие образуют боковую поверхность, а их длина понадобится при вычислении её площади.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; её длина — расстояние от вершины до основания. Обычно высоту обозначают h, радиус основания — r. Высота измеряется по кратчайшему пути до плоскости и не совпадает с наклонной образующей.
Представим прямоугольный треугольник и будем вращать его вокруг одного из катетов. Этот катет остаётся на месте и становится осью будущего конуса, а второй катет описывает круг — основание. Гипотенуза при вращении заметает боковую поверхность, поэтому её отрезки соответствуют образующим. Так становится понятно, почему у конуса есть круг и наклонная боковая часть.
Прямой круговой конус получается, когда ось вращения проходит через центр основания и перпендикулярна его плоскости. Поэтому высота соединяет вершину именно с центром круга и образует с основанием прямой угол. Если соединить центр основания с точкой окружности, получится радиус r; вместе с высотой h и образующей l он образует прямоугольный треугольник. В нём образующая лежит напротив прямого угла, то есть является гипотенузой.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит, для прямого кругового конуса l² = r² + h², а образующую можно найти как l = √(r² + h²). Эта связь нужна, например, когда известны радиус и высота, но для площади боковой поверхности требуется длина образующей. Она применима именно к прямому круговому конусу.
Если разрезать боковую поверхность по образующей и разложить её, получится сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей l: именно образующие становятся отрезками от центра сектора до его дуги. Дуга сектора при сворачивании образует окружность основания, поэтому её длина равна 2πr. Это объясняет, как круглая поверхность конуса связана с развёрткой.
Площадь сектора можно вычислить по доле полного круга: отношение длины его дуги к длине всей окружности радиуса l равно 2πr к 2πl. Умножив эту долю на площадь круга πl², получаем площадь боковой поверхности πrl. Полная поверхность включает ещё основание площадью πr², поэтому Sполн = πrl + πr². Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓πr²h; здесь используется перпендикулярная высота, а не образующая.
| Что рассматриваем | Обозначение или формула | Что означает |
|---|---|---|
| Радиус основания | r | Расстояние от центра основания до его окружности |
| Высота | h | Перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания |
| Образующая | l | Отрезок от вершины до точки окружности основания |
| Связь радиуса, высоты и образующей | l² = r² + h² | Теорема Пифагора для прямого кругового конуса |
| Площадь основания | πr² | Площадь круга-основания |
| Площадь боковой поверхности | πrl | Площадь конической боковой части |
| Площадь полной поверхности | πrl + πr² | Сумма боковой поверхности и основания |
| Объём | ⅓πr²h | Объём тела при радиусе r и высоте h |
Сначала определите, какие величины известны и что нужно найти: например, для боковой площади необходима образующая, а для объёма — высота. Если известны только r и h, сначала найдите l по теореме Пифагора. Не смешивайте площадь боковой поверхности с полной: во второй учитывается круг-основание.
На рисунке дан конус. Назовите его вершину, основание, высоту и образующую. Имена точек зависят от обозначений на конкретном чертеже, поэтому сначала найдите геометрические части по их расположению. Высота и образующая могут выглядеть похоже, но определяются по-разному.
Ответ: вершина — верхняя точка конуса, основание — круг, высота — перпендикуляр к основанию, образующая — отрезок от вершины до окружности. Если на чертеже элементы обозначены буквами, назовите соответствующие им отрезки и точку. Название определяется ролью элемента, а не тем, как он нарисован.
Радиус основания прямого кругового конуса равен 5 см, высота — 12 см. Нужно найти образующую. Радиус и высота являются катетами прямоугольного треугольника, а образующая — гипотенузой. Поэтому используем теорему Пифагора, а не складываем длины напрямую.
Ответ: 13 см. Проверка: 5, 12 и 13 образуют тройку чисел, удовлетворяющую равенству 5² + 12² = 13². Образующая длиннее обоих катетов, что соответствует её роли гипотенузы.
Радиус основания конуса равен 6 см, высота — 8 см. Требуется найти площадь полной поверхности и объём. Для площади сначала понадобится образующая, а для объёма можно сразу использовать высоту. Это два разных расчёта, поэтому важно подставлять в каждую формулу свой элемент.
Ответ: площадь полной поверхности равна 96π см², объём — 96π см³. Приближённо это около 301,6 см² и 301,6 см³. В формуле объёма использована высота 8 см, а не образующая 10 см.
Образующую принимают за высоту, потому что обе линии начинаются в вершине. Но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая наклонена к ней. Чтобы проверить себя, проследите, куда приходит отрезок: в центр основания — высота прямого конуса, на окружность — образующая.
В формулу объёма подставляют образующую вместо высоты, поскольку она тоже показывает расстояние от вершины. Объём зависит от перпендикулярного расстояния до основания, поэтому формула содержит h: V = ⅓πr²h. Проверьте обозначение в условии и убедитесь, что в подстановке использована высота.
При вычислении полной поверхности учитывают только боковую часть. Это происходит, когда название «поверхность конуса» ошибочно связывают лишь с его изогнутой стороной. Полная поверхность включает и основание, поэтому проверьте, что к πrl добавлено πr².
В развёртке радиус сектора принимают за радиус основания. На плоском рисунке легко перепутать круг основания и сектор боковой поверхности. Радиус сектора равен образующей l, потому что сторона сектора образована наклонным отрезком; проверьте также, что его дуга имеет длину 2πr.
Для изучения конуса нужны знания о круге: радиусе и формуле площади πr². Также понадобятся прямоугольный треугольник и теорема Пифагора, чтобы связать радиус, высоту и образующую. Развёртка показывает, как поверхность пространственного тела можно представить на плоскости.
Формулы конуса применяют в задачах на площадь поверхности и объём, например при оценке материала или вместимости. Они связаны с формулами цилиндра и помогают сравнивать тела с одинаковым основанием и высотой. В дальнейшем эти знания пригодятся при изучении развёрток и других тел вращения.
Чем высота конуса отличается от образующей?
Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания, а образующая соединяет вершину с точкой окружности основания. Поэтому образующая наклонена к основанию и в прямом круговом конусе длиннее высоты.
Как найти образующую, если известны радиус и высота?
Для прямого кругового конуса применяют теорему Пифагора: l² = r² + h². Значит, l = √(r² + h²), где r — радиус основания, h — высота.
Почему объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра с таким же основанием и высотой?
Объём конуса равен ⅓ площади основания, умноженной на высоту: V = ⅓πr²h. У цилиндра с теми же основанием и высотой V = πr²h, поэтому его объём втрое больше.
Как выглядит развёртка боковой поверхности конуса?
Если разрезать боковую поверхность по образующей и разложить её на плоскости, получится сектор круга. Радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги равна длине окружности основания.
Какие части входят в полную поверхность конуса?
Полная поверхность состоит из боковой поверхности и круга-основания. Поэтому её площадь равна сумме πrl и πr².
Урок 10.Конус
