Урок 9.Разряды и классы чисел

Определения и обозначения

Цифра — знак для записи чисел; всего в десятичной системе используют десять цифр: от 0 до 9. Цифры складываются в записи чисел так же, как буквы — в слова, но каждая позиция цифры имеет значение. Поэтому важно различать знак и то количество, которое он обозначает.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Например, цифра 5 в числе 50 обозначает пять десятков, а в числе 5 — пять единиц. Название разряда помогает понять, сколько единиц этого разряда показывает цифра.

Класс чисел — объединение трёх соседних разрядов. Например, единицы, десятки и сотни входят в класс единиц, а три следующих разряда — в класс тысяч. Классы нужны, чтобы удобно группировать цифры и читать длинные числа.

Разрядное слагаемое — слагаемое, показывающее значение цифры в определённом разряде. В числе 428 такими слагаемыми будут 400, 20 и 8. Если записать число как сумму этих значений, становится видно, из чего оно составлено.

Как это устроено

В десятичной системе одна и та же цифра может обозначать разные количества, потому что её значение зависит от позиции. Например, в числе 222 крайняя правая двойка означает 2 единицы, следующая — 2 десятка, а левая — 2 сотни. Это связано с тем, что каждая позиция влево в десять раз крупнее предыдущей. Поэтому запись числа — не просто набор цифр: порядок цифр сообщает, сколько единиц, десятков, сотен и других разрядов нужно взять.

Разряды располагаются справа налево в возрастающем порядке: единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Дальше следуют единицы миллионов и следующие разряды. Такой порядок удобен, потому что знакомые единицы, десятки и сотни повторяются в каждом следующем крупном разряде с увеличением в десять раз. Чтобы установить название разряда цифры, начинай отсчёт именно от правого края.

Три соседних разряда объединяют в класс, потому что в каждом классе помещаются единицы, десятки и сотни соответствующего крупного разряда. Например, класс тысяч содержит единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. При чтении сначала называют число в каждом классе, а затем его название: тысяч, миллионов и так далее. Так длинная запись делится на понятные группы, и легче заметить, сколько в ней миллионов или тысяч.

Ноль занимает разряд, в котором нет единиц, но его нельзя просто убрать: он сохраняет позиции остальных цифр. В числе 305 000 ноль между 3 и 5 показывает отсутствие десятков тысяч, поэтому 3 обозначает сотни тысяч, а 5 — тысячи. Если пропустить этот ноль и записать 35 000, значение числа изменится. При записи числа по названию нули ставят во все отсутствующие разряды, чтобы цифры сохранили нужные места.

Чтобы представить многозначное число суммой разрядных слагаемых, определяют значение каждой ненулевой цифры и складывают эти значения. Например, число 4 625 318 состоит из 4 000 000, 600 000, 20 000, 5 000, 300, 10 и 8. Слагаемые с нулевыми цифрами не записывают, потому что они равны нулю. Чтобы восстановить число по сумме, находят разряд каждого слагаемого и записывают его цифру на соответствующее место, оставляя нули в пропущенных разрядах.

Разряды и классы чисел

Чтобы определить разряд, найди в таблице нужный порядок позиции цифры, считая справа налево. Класс определяется группой из трёх разрядов, в которую эта цифра входит. В примерах нули тоже занимают места разрядов, хотя сами не добавляют к числу единиц.

Разбор задач

Цифра 6 в числе 4 625 318

Условие. Назвать разряд цифры 6 и указать, сколько единиц этого разряда содержится в числе 4 625 318. Идём от крайней правой цифры, потому что именно так расположены разряды. Затем определяем значение цифры 6 на найденном месте.

1. Считаем справа: 8 — единицы, 1 — десятки, 3 — сотни, 5 — единицы тысяч.
2. Следующая цифра 2 стоит в разряде десятков тысяч, а цифра 6 — в разряде сотен тысяч.
3. Цифра 6 показывает шесть сотен тысяч, то есть 600 000; в числе содержится 6 единиц этого разряда.

Ответ. Цифра 6 стоит в разряде сотен тысяч и обозначает 6 единиц этого разряда, или 600 000. Название разряда и его значение здесь связаны: сотня тысяч равна 100 000, а шесть таких единиц составляют 600 000. Проверка: эта цифра находится в классе тысяч, на третьем месте справа внутри класса.

Число по названию

Условие. Записать цифрами число «пять миллионов тридцать две тысячи семь». Сначала разделим название на классы: миллионы, тысячи и единицы. Затем заполним каждый класс и поставим нули в разрядах, которые в названии не указаны.

1. «Пять миллионов» записываем как 5 000 000: в классе миллионов стоит 5.
2. «Тридцать две тысячи» — это 32 000. В классе тысяч записываем 032: сотен тысяч нет, есть 3 десятка тысяч и 2 единицы тысяч.
3. «Семь» означает 7 единиц. В классе единиц записываем 007, поскольку сотен и десятков нет.
4. Соединяем классы без пропусков: 5 | 032 | 007.

Ответ. 5 032 007. Нули в классах тысяч и единиц занимают отсутствующие разряды и сохраняют положение цифр 3, 2 и 7. Если их убрать, получившаяся запись будет обозначать другое число.

Разложение числа 8 407 052

Условие. Представить число 8 407 052 суммой разрядных слагаемых и объяснить роль нулей. Разобьём запись на классы: 8 | 407 | 052. В каждом классе определим разряд ненулевых цифр.

1. Цифра 8 обозначает 8 000 000, а цифра 4 в классе тысяч — 400 000.
2. Цифра 7 стоит в разряде тысяч и обозначает 7 000. В классе единиц цифры 5 и 2 обозначают 50 и 2.
3. Записываем сумму ненулевых значений: 8 407 052 = 8 000 000 + 400 000 + 7 000 + 50 + 2.
4. Нули не дают слагаемых, но сохраняют места сотен тысяч, десятков тысяч, сотен и десятков там, где цифры нет.

Ответ. 8 407 052 = 8 000 000 + 400 000 + 7 000 + 50 + 2. По нулям видно, что в числе нет десятков тысяч, сотен и десятков. Если при записи суммы восстановить число, эти пустые разряды нужно оставить нулями.

Типичные ошибки

Путают цифру и число: цифра является знаком, а число может быть записано одной или несколькими цифрами. Такое смешение возникает потому, что в обычной речи слова иногда используют неточно. Проверяй себя: 8 — и цифра, и запись числа, а 428 — число, составленное из трёх цифр.

Считают разряды слева направо, хотя их определяют справа налево, начиная с единиц. Ошибка появляется, когда ученик просто считает цифры от начала записи и не учитывает установленный порядок. Для проверки найди крайний правый разряд — это всегда единицы — и продолжай отсчёт влево.

Пропускают нули при записи числа по его названию и тем самым сдвигают цифры на другие места. Часто кажется, что ноль ничего не значит, но в записи он обозначает отсутствующий разряд. Сверь число по классам: в каждой группе должно быть по три цифры, а пустые места нужно заполнить нулями.

Неверно группируют цифры по классам, например отделяют группы по три слева или считают не от того края. Причина — привычка начинать чтение с первой цифры, а не формировать классы от единиц. Чтобы проверить запись, расставь пробелы, двигаясь от правого края через каждые три цифры; слева в последней группе может остаться меньше трёх цифр.

Связь с другими темами

Для работы с разрядами нужно знать порядок единиц, десятков и сотен, а также уметь читать и записывать натуральные числа. Это знание помогает сравнивать многозначные числа: сначала сопоставляют цифры старших разрядов. Оно же нужно при сложении, вычитании и округлении, потому что действия связаны с разрядными единицами.

Разряды и классы помогают записывать большие величины в понятной форме и проверять, не потерялись ли нули. Разложение на разрядные слагаемые показывает состав числа и пригодится при вычислениях и решении текстовых задач. Так запись связывает название числа, его величину и действия с ним.

Что запомнить

• Цифра — знак, а число — математическое значение, записанное одной или несколькими цифрами.
• Значение цифры определяется её разрядом.
• Разряды считают справа налево, начиная с единиц.
• Три соседних разряда образуют класс.
• Классы отделяют друг от друга пробелами.
• Нули обозначают отсутствующие разряды и сохраняют место других цифр.
• Любое многозначное число можно представить суммой его разрядных слагаемых.