Урок 8.Разряды и классы чисел

Определения и обозначения

Разряд числа — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Например, в числе 5 000 цифра 5 стоит в разряде единиц тысяч, поэтому обозначает не пять единиц, а пять тысяч. Это понятие нужно, чтобы правильно находить вклад каждой цифры в число.

Разрядная единица — число, показывающее, сколько единиц соответствующего разряда составляет одна единица следующего разряда. Например, 10 единиц образуют один десяток, а 10 десятков — одну сотню. Разрядные единицы помогают переводить цифру в её настоящее значение.

Класс чисел — группа из трёх соседних разрядов, отсчитываемая справа налево. В каждом классе есть единицы, десятки и сотни своего порядка: например, единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Классы упрощают чтение и запись очень больших чисел.

Разрядная запись числа — представление числа в виде суммы значений всех его цифр. Например, 326 = 300 + 20 + 6. Такая запись показывает, из каких разрядных частей составлено число.

Как это устроено

Значение цифры зависит от её места, потому что наша система счисления десятичная. В ней каждая позиция слева в десять раз больше соседней позиции справа: единицы переходят в десятки, десятки — в сотни, сотни — в тысячи. Поэтому цифра 4 в числах 4, 40 и 400 обозначает соответственно четыре единицы, четыре десятка и четыре сотни.

Разряды объединяют в классы по три, начиная справа, потому что так удобнее быстро определять порядок числа. Первый класс называют классом единиц, следующий — классом тысяч, затем идут классы миллионов и миллиардов. Название класса показывает, какие крупные единицы содержит его группа: тысячи, миллионы или миллиарды.

Чтобы определить разряд и класс цифры, сначала отделяют группы по три цифры справа налево. Внутри каждой группы справа находятся единицы, затем десятки и сотни, а название класса добавляется к этому разряду. Ноль тоже занимает определённую позицию: он может обозначать отсутствующие десятки или сотни, но не позволяет сдвинуть соседние цифры.

Многозначные числа читают слева направо, называя сначала старший класс, а затем его цифры с названиями разрядов. После этого произносят название класса и переходят к следующей группе, но для класса единиц отдельное название обычно не добавляют. Нулевые разряды не читают: число 306 018 произносят как «триста шесть тысяч восемнадцать».

Разрядную запись получают, заменяя каждую цифру её значением. Для этого цифру умножают на разрядную единицу: например, цифра 7 в разряде десятков тысяч даёт 7 · 10 000 = 70 000. Затем все ненулевые значения складывают, а слагаемые с нулевой цифрой можно опустить.

Разряды и классы чисел

Пользуйтесь таблицей, начиная отсчёт с правой стороны числа. Сначала определите класс, затем место цифры внутри класса и соответствующую разрядную единицу. Если между ненулевыми цифрами есть нули, их позиции всё равно сохраняются.

Разбор задач

Задача 1. У числа 57 204 укажите класс и разряд каждой цифры. Сначала разделим запись на классы, а затем рассмотрим каждую цифру справа налево. Так не перепутаются разряды внутри групп.

1. Запись уже разделена на две группы: 57 — класс тысяч, 204 — класс единиц.
2. Цифра 5 стоит в классе тысяч и занимает разряд сотен тысяч. Цифра 7 — десятки тысяч, цифра 2 — единицы тысяч.
3. В группе 204 цифра 2 занимает разряд сотен класса единиц. Цифра 0 стоит в разряде десятков, а цифра 4 — в разряде единиц.

Ответ: 5 — сотни тысяч, 7 — десятки тысяч, 2 — единицы тысяч, 0 — десятки, 4 — единицы.

Задача 2. Прочитайте число 306 018 и запишите его словами. Группа 306 относится к классу тысяч, а группа 018 — к классу единиц. Нули при чтении не произносятся, но сохраняют положение цифр.

1. Читаем первую группу 306: «триста шесть» и добавляем название класса — «тысяч».
2. В группе 018 единица стоит в разряде десятков, а восьмёрка — в разряде единиц. Поэтому эта часть читается как «восемнадцать».
3. Соединяем прочитанные части, не называя ноль в разряде сотен. Получаем полное название числа.

Ответ: триста шесть тысяч восемнадцать.

Задача 3. Представьте число 4 072 305 в виде суммы разрядных слагаемых. Разделим цифры по разрядам и оставим только ненулевые значения. Нули в записи укажут пропущенные разряды, но отдельными слагаемыми не станут.

1. Цифра 4 находится в разряде единиц миллионов и даёт 4 000 000.
2. Цифра 7 находится в разряде десятков тысяч и даёт 70 000, а цифра 2 — в разряде тысяч и даёт 2 000.
3. В классе единиц цифра 3 даёт 300, цифра 0 в десятках слагаемого не добавляет, а цифра 5 даёт 5.

Ответ: 4 072 305 = 4 000 000 + 70 000 + 2 000 + 300 + 5.

Типичные ошибки

Называть цифру вместо разряда. Ошибка возникает, когда говорят «пятёрка — это разряд», хотя пятёрка является цифрой, а её место может быть разрядом единиц, десятков или тысяч. Проверьте себя вопросом: «Что записано знаком?» — цифра; «Где он стоит?» — разряд.

Группировать цифры слева направо. Так можно получить неверные классы, потому что начало группы определяется правым краем числа. Всегда отсчитывайте по три цифры справа налево, а оставшуюся слева группу считайте первым классом.

Пропускать нули при определении разрядов. Ноль не меняет сумму числа, поэтому его иногда ошибочно считают ненужным. Но он сохраняет позицию: в числе 5 006 ноль стоит в разрядах сотен и десятков, а цифра 6 остаётся единицами.

Не называть класс тысяч или миллионов при чтении. Если пропустить название класса, число может уменьшиться в тысячу или миллион раз на слух. Проверьте чтение, разделив запись на группы и назвав каждую ненулевую группу вместе с её классом.

Связь с другими темами

До изучения разрядов и классов нужно знать натуральные числа, цифры и десятичную запись. Эти знания объясняют, почему одна и та же цифра может обозначать разные количества в зависимости от позиции. Без понимания порядка цифр трудно правильно читать многозначные числа.

Разряды и классы нужны при сравнении и округлении многозначных чисел: сначала смотрят на старшие разряды. Они также помогают выстраивать цифры по колонкам при письменном сложении, вычитании, умножении и делении. Поэтому разрядный состав связывает чтение чисел с дальнейшими вычислениями.

Что запомнить

• В десятичной записи используются десять цифр: от 0 до 9.
• Значение цифры зависит от её разряда.
• При переходе на один разряд влево разрядная единица увеличивается в десять раз.
• Три соседних разряда образуют класс.
• Классы отсчитывают справа налево, начиная с класса единиц.
• Нули сохраняют место цифр в записи числа.
• Разрядная запись представляет число как сумму значений его цифр.