Урок 16.Деление на однозначное число (письменные вычисления)

Определения и обозначения

Письменное деление — способ делить многозначное число на однозначное, записывая промежуточные действия столбиком. На каждом шаге мы работаем лишь с частью делимого и сразу записываем найденную цифру ответа. Такой способ помогает не смешивать разряды и аккуратно выполнять вычисления.

Неполное делимое — часть делимого, которую на очередном шаге делят на делитель. Сначала это может быть одна цифра, а если её недостаточно — несколько первых цифр числа. Понятие нужно, чтобы видеть, какую часть делимого обрабатывают сейчас и откуда получают очередную цифру частного.

Цифра частного — цифра, которую находят на каждом шаге письменного деления и записывают в ответ. Она показывает, сколько раз делитель помещается в текущем неполном делимом. Цифры записывают по порядку, поэтому каждая занимает разряд, соответствующий обработанной части делимого.

Остаток — число, которое остаётся после деления и должно быть меньше делителя. Оно показывает, что целое число раз делитель в оставшейся части уже не помещается. Остаток нужен, когда делимое не делится на делитель нацело, а также для проверки результата.

Как это устроено

Деление начинают с наибольшего разряда, потому что именно он задаёт порядок первой цифры частного. Сравни первую цифру делимого с делителем: если она не меньше, она и будет первым неполным делимым. Если она меньше, возьми вместе с ней следующую цифру, иначе на этом разряде нельзя выполнить деление ни одного раза. Так первая цифра частного сразу встаёт над нужным разрядом.

Чтобы найти цифру частного, подбери наибольшее число раз, которое делитель содержится в неполном делимом. Для этого удобно перебирать цифры от 1 до 9 и умножать на них делитель. Произведение не должно быть больше неполного делимого, иначе вычесть его не получится. Если выбрать цифру меньше возможной, останется ещё одна полная группа делителя, значит шаг выполнен не до конца.

Умножь делитель на найденную цифру частного и запиши произведение под неполным делимым. Вычитание показывает, какая часть пока не разделена, но при этом делитель уже нельзя вычесть из неё ещё раз. Если разность всё ещё не меньше делителя, выбранная цифра была слишком маленькой. Поэтому умножение и вычитание позволяют проверить каждый шаг, а не только готовый ответ.

После вычитания снеси следующую цифру делимого и присоедини её к остатку: так образуется новое неполное делимое. Цифры нужно сносить по одной и в том порядке, в каком они стоят в делимом. Если полученное число меньше делителя, в частном на этом месте записывают 0 и переходят к следующей цифре. Ноль нельзя пропускать, иначе последующие цифры частного сдвинутся и ответ изменится.

Деление завершено, когда все цифры делимого использованы и последнее вычитание выполнено. Если остаток равен нулю, деление прошло нацело; если он не равен нулю, он должен быть меньше делителя. Проверка строится на обратном действии: умножь делитель на частное и прибавь остаток. Получившееся число должно совпасть с делимым.

Шаги письменного деления на однозначное число

Пользуйся таблицей последовательно: каждый новый шаг начинается после вычитания на предыдущем. Записывай цифры частного в том же порядке, в каком обрабатываешь разряды делимого. В конце проверь равенство и убедись, что остаток меньше делителя.

Разбор задач

Вычисли 684 : 3.

Первая цифра 6 не меньше делителя 3, поэтому начинаем с сотен и получаем первую цифру частного на этом разряде. После каждого вычитания сносим следующую цифру делимого, сохраняя его порядок. Остаток в конце равен нулю, значит деление будет нацело.

1. Делим 6 сотен на 3: получаем 2 сотни. Записываем 2 в частное, а 2 × 3 = 6 вычитаем из 6.
2. Сносим 8 десятков. 8 : 3 = 2, остаток 2, потому что 2 × 3 = 6 и 8 − 6 = 2.
3. Сносим 4 единицы к остатку 2, получаем 24. 24 : 3 = 8, остаток 0.
4. Записываем цифры частного по порядку: 228. Проверяем: 228 × 3 = 684.

Ответ: 684 : 3 = 228. Проверка вернула исходное делимое, поэтому вычисление выполнено верно. Нулевой остаток показывает, что 684 делится на 3 без остатка.

Вычисли 728 : 4.

Первая цифра 7 больше 4, поэтому начинаем деление с неё. После вычитания из 7 остаётся 3; снесённая цифра 2 образует число 32, которое уже можно делить на 4. На последнем шаге остаток от деления 32 равен нулю, и снесённая 8 образует неполное делимое, которое меньше 4, поэтому в частном понадобится ноль.

1. 7 : 4 = 1, остаток 3. Записываем первую цифру частного 1 и вычитаем 1 × 4 = 4.
2. Сносим 2: получаем 32. 32 : 4 = 8, остаток 0, так как 8 × 4 = 32.
3. Сносим 8. Число 8 делится на 4 два раза, поэтому в частное записываем 2.
4. Получаем частное 182. Проверяем умножением: 182 × 4 = 728.

Ответ: 728 : 4 = 182. Здесь ноль в записи частного не требуется: после получения неполного делимого 32 его цифра частного равна 8, а последнее неполное делимое равно 8 и даёт цифру 2. Проверка подтверждает, что разряды частного записаны верно.

Раздели 957 на 6 и проверь результат.

Первая цифра 9 позволяет начать деление с сотен. Затем после сноса 5 получается 35, а после сноса 7 — 57; на последнем шаге часть делимого уже не делится на 6 нацело. Поэтому в ответе нужно указать остаток и проверить как частное, так и его величину.

1. 9 : 6 = 1, остаток 3. Записываем 1, вычитаем 6 из 9 и сносим 5: получаем 35.
2. 35 : 6 = 5, потому что 5 × 6 = 30, а 6 × 6 = 36 уже больше 35. Вычитаем 30, остаток равен 5.
3. Сносим 7 и получаем 57. 57 : 6 = 9, так как 9 × 6 = 54, а 10 × 6 больше 57; остаток равен 3.
4. Записываем частное 159 и остаток 3. Проверяем: 6 × 159 + 3 = 954 + 3 = 957, причём 3 меньше 6.

Ответ: 957 : 6 = 159 (ост. 3). Равенство при проверке показывает, что частное и остаток вместе составляют делимое. Остаток меньше делителя, поэтому деление выполнено до конца.

Типичные ошибки

Начинать деление не с того разряда. Тогда цифры частного оказываются записаны не на своих местах, хотя отдельные вычисления могут быть верны. Такое случается, если не сравнить первую цифру делимого с делителем. Проверяй, какую часть числа ты делишь первой, и сопоставляй разряды частного с разрядами делимого.

Записывать не наибольшую подходящую цифру частного. Слишком большая цифра даёт произведение больше неполного делимого, а слишком маленькая оставляет возможность вычесть делитель ещё раз. Ошибка возникает при торопливом подборе или неточной таблице умножения. Умножь выбранную цифру на делитель и проверь: произведение не превышает неполное делимое, а разность меньше делителя.

Забывать сносить цифру или пропускать ноль в частном. Если цифра не снесена, деление прекращается раньше времени; если не записан ноль, следующие цифры частного смещаются. Это часто происходит, когда внимание сосредоточено только на умножении и вычитании. Сверяй число использованных цифр делимого и помни: каждому обработанному разряду соответствует место в частном.

Оставлять остаток, равный делителю или больший него. Такой остаток означает, что делитель всё ещё помещается в оставшейся части и нужно продолжить деление. Ошибку допускают, если завершают вычисление сразу после вычитания, не сравнив числа. В конце проверь условие: остаток должен быть меньше делителя; если это не так, пересмотри последний шаг.

Связь с другими темами

Перед письменным делением нужно уверенно умножать и делить в пределах таблицы умножения: эти действия помогают быстро подбирать цифру частного и вычислять произведение для вычитания. Также важно знать разрядный состав многозначных чисел. Он объясняет, почему деление начинают с наибольшего разряда и как цифры частного занимают свои места.

Тот же порядок действий пригодится при делении многозначных чисел на двузначные: меняется подбор цифры, но сохраняются неполные делимые, умножение, вычитание и снос следующей цифры. Умножение используется и для проверки деления. При делении с остатком к произведению делителя и частного добавляют остаток, чтобы восстановить делимое.

Что запомнить

• Деление начинают с наибольшего разряда.
• Цифры частного находят по очереди для каждого неполного делимого.
• Каждую цифру частного проверяют умножением и вычитанием.
• Следующую цифру делимого сносят только после вычитания.
• Ноль в частном нельзя пропускать.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Проверка: делитель × частное + остаток = делимое.