Урок 17.Деление на однозначное число (письменные вычисления)

Определения и обозначения

Письменное деление — способ делить многозначное число на однозначное, записывая вычисления столбиком. При таком способе вычисления разбивают на последовательные шаги и выполняют по разрядам. Это удобно, когда делимое слишком велико для устного счёта. Запись помогает не потерять порядок действий.

Неполное делимое — часть делимого, которую на данном шаге делят на делитель; сначала это первая подходящая слева часть числа. Например, при делении 936 на 3 начинают с 9, потому что 9 не меньше 3. Если первая цифра меньше делителя, берут первые две цифры. Так определяется место, с которого начинается частное.

Цифра частного — цифра, полученная на одном шаге деления; её записывают в частное над соответствующим разрядом делимого. Несколько таких цифр образуют полный ответ. Каждая занимает место единиц, десятков, сотен или другого разряда. Поэтому правильное расположение цифр сохраняет значение числа.

Остаток — число, которое остаётся после деления без остатка на данном шаге; он должен быть меньше делителя. Остаток показывает, сколько единиц не удалось распределить поровну на этом шаге. Если он оказался не меньше делителя, значит, цифра частного была выбрана слишком маленькой. При делении с остатком это число записывают рядом с частным.

Как это устроено

Сначала слева находят первую часть делимого, которая не меньше делителя. Делить часть, меньшую делителя, нельзя: результатом этого шага была бы нулевая цифра, но в начале записи это может сбить с правильного разряда частного. Поэтому, если первая цифра мала, к ней присоединяют следующую цифру. Полученная часть и становится первым неполным делимым.

Затем определяют цифру частного для выбранного неполного делимого. Нужно найти наибольшую цифру от 1 до 9, произведение которой на делитель не превосходит эту часть. Если взять цифру больше, произведение окажется слишком большим и вычитать его будет нельзя. Если взять меньшую, часть делимого распределится не полностью, хотя это можно сделать за один шаг.

Найденную цифру умножают на делитель, а результат вычитают из неполного делимого. Вычитание показывает, сколько единиц осталось после выделения целого числа групп. Только после этого к остатку сносят следующую цифру делимого: так образуется новое неполное делимое для следующего разряда. Этот порядок связывает шаги и не позволяет повторно учитывать уже разделённую часть.

Иногда новое неполное делимое меньше делителя. Тогда делитель не помещается в нём ни разу, поэтому в частном для этого разряда нужно записать 0. После этого сносят следующую цифру и продолжают деление. Ноль сохраняет место разряда: без него последующие цифры частного сдвинулись бы влево и обозначали другое число.

Когда цифры делимого закончились, оставшееся число становится остатком. При делении без остатка оно равно нулю, а при делении с остатком должно быть меньше делителя. Проверка помогает обнаружить ошибку: частное умножают на делитель и прибавляют остаток. Если получено исходное делимое, вычисления согласованы.

Этапы письменного деления на однозначное число

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу только после завершения предыдущего. При каждом новом неполном делимом повторяй подбор цифры частного, умножение и вычитание. В конце проверь и равенство, и условие для остатка.

Разбор задач

Вычислите 936 : 3 столбиком.

Первая цифра 9 не меньше 3, поэтому первое неполное делимое — 9. После деления сотен нужно продолжить вычисления с десятками, а затем с единицами. Так можно отдельно увидеть, откуда берётся каждая цифра ответа.

1. Делим 9 на 3, получаем 3. Записываем 3 в разряд сотен частного: 3 × 3 = 9, остаток равен 0.
2. Сносим цифру 3. Делим 3 на 3, получаем 1 десяток: записываем 1, вычитаем 3 и получаем 0.
3. Сносим цифру 6. Делим 6 на 3, получаем 2 единицы: записываем 2, вычитаем 6. Остаток равен 0.

В частном по порядку стоят 3 сотни, 1 десяток и 2 единицы. Проверяем: 312 × 3 = 936. Ответ: 936 : 3 = 312.

Вычислите 4212 : 4 столбиком.

Первая цифра 4 делится на 4, поэтому начинаем с разряда тысяч. При продолжении вычислений после вычитания 4 остаётся 2, а при снесении следующей цифры получается 22. В одном из следующих разрядов возникнет неполное делимое меньше делителя, и это важно отметить нулём.

1. Делим 4 на 4, получаем 1 тысячу. Вычитаем 4, остаток 0, сносим 2 и получаем 2.
2. 2 меньше 4, поэтому записываем 0 в разряде сотен частного. Сносим следующую цифру 1: теперь неполное делимое равно 21.
3. 21 : 4 = 5, потому что 5 × 4 = 20. Вычитаем 20, получаем 1, сносим 2 и получаем 12.
4. 12 : 4 = 3. Вычитаем 12, остаток 0. Полученное частное — 1053.

Ноль сохраняет разряд сотен, поэтому ответ не 153, а 1053. Проверка: 1053 × 4 = 4212. Ответ: 4212 : 4 = 1053.

Вычислите 5637 : 8 с остатком и проверьте ответ.

Первая цифра 5 меньше 8, поэтому первое неполное делимое составляют первые две цифры — 56. На каждом шаге выбираем наибольшую цифру, произведение которой на 8 не превышает текущую часть. После обработки всех цифр проверим, что оставшееся число действительно меньше 8.

1. 56 : 8 = 7. Вычитаем 7 × 8 = 56, получаем 0 и сносим 3.
2. 3 меньше 8, поэтому в разряде десятков частного записываем 0. Сносим следующую цифру 7 и получаем 37.
3. 37 : 8 = 4, потому что 4 × 8 = 32, а 5 × 8 = 40 уже больше 37. Вычитаем 32, остаётся 5.
4. Цифры делимого закончились. Записываем частное 704 и остаток 5; он меньше 8.

Для проверки умножаем частное на делитель и прибавляем остаток: 704 × 8 + 5 = 5632 + 5 = 5637. Результат проверки совпал с делимым. Ответ: 5637 : 8 = 704 (ост. 5).

Типичные ошибки

Начинают делить с первой цифры, даже если она меньше делителя. Так неверно выбирают первое неполное делимое и могут сместить начало частного. Ошибку допускают, потому что принимают отдельную цифру за обязательный первый шаг. Проверь себя: первая часть, которую делишь, должна быть не меньше делителя.

Цифры частного записывают не над соответствующими разрядами. Тогда сотни, десятки и единицы меняются местами по значению, даже если сами вычисления выполнены верно. Это случается, когда записывают цифры по мере счёта, не следя за разрядами делимого. Сверь каждую цифру частного с тем шагом, на котором она получена.

Пропускают ноль, когда очередное неполное делимое меньше делителя. В результате следующая цифра частного занимает место пропущенного разряда, и число становится другим. Обычно ноль забывают, потому что на этом шаге не получается выполнить обычное деление. Проверка обратным умножением покажет, что пропущенный разряд изменил ответ.

Сносят следующую цифру до вычитания произведения или оставляют остаток не меньше делителя. В первом случае нарушается порядок шагов, а во втором подобрана слишком маленькая цифра частного. Эти ошибки возникают, когда торопятся и не проверяют промежуточную запись. После каждого шага вычитай произведение, а затем убедись, что остаток меньше делителя.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны знание таблицы умножения, деление с остатком и понимание разрядного состава многозначных чисел. Таблица умножения помогает быстро подбирать цифру частного, а умение делить с остатком — правильно завершать вычисление. Знание разрядов объясняет, почему цифры частного записывают на определённых местах.

Этот алгоритм станет основой для деления многозначных чисел на двузначные: общий порядок действий останется похожим, хотя подбор цифр потребует больше вычислений. Деление также используют в задачах на равное распределение предметов и на нахождение неизвестного множителя. Уверенная работа с остатком помогает понять, можно ли распределить всё поровну.

Что запомнить

• Деление начинают с первой слева части делимого, которая не меньше делителя.
• Каждую цифру частного подбирают так, чтобы произведение на делитель не превосходило неполное делимое.
• После умножения вычитают полученное произведение и сносят следующую цифру.
• Если очередное неполное делимое меньше делителя, в соответствующем разряде частного пишут 0.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делитель умножить на частное и прибавить остаток.