"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение числа на произведение позволяет вычислять выражения несколькими способами: сначала перемножить число с одним множителем, а затем с другим. Это помогает выбирать удобные пары чисел и быстрее считать устно. Главное правило связано с сочетательным свойством: скобки можно переносить, не меняя порядок множителей и значение произведения. А переместительное свойство помогает при необходимости изменить их порядок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение — результат умножения. В записи 6 · (4 · 5) произведение чисел 4 и 5 стоит в скобках, а 4 и 5 называют множителями. Это слово помогает отличать числа, которые перемножают, от результата действия.
Множители — числа, которые перемножают. Например, в выражении a · (b · c) множителями являются a, b и c, хотя скобки сначала выделяют b и c. Понимание того, где находятся все множители, не даёт потерять часть выражения при вычислениях.
Умножение числа на произведение — действие, которое можно выполнить, сначала перемножив число с одним множителем, а затем с другим. Например, в a · (b · c) число a можно сначала умножить на b. Такое правило позволяет выбирать подходящий порядок вычислений.
Сочетательное свойство умножения позволяет менять группировку множителей, не меняя их порядок и значение произведения. Например, a · (b · c) = (a · b) · c. Свойство нужно, чтобы переносить скобки и объединять числа, с которыми удобнее считать.
Запись a · (b · c) означает, что число a умножают на произведение b и c. Скобки показывают, какие множители объединены для первого действия, но все три числа остаются множителями одного произведения. Поэтому при вычислении нельзя остановиться после умножения только на b или только на c.
По сочетательному свойству a · (b · c) = (a · b) · c. Значение не меняется, потому что перемножаются те же числа и в том же порядке; меняется только то, какие из них считают вместе сначала. Это позволяет начать вычисление не обязательно с выражения внутри скобок.
Из равенства получается практическое правило: сначала умножь число на один множитель, а результат умножь на оставшийся. Например, в (a · b) · c после первого действия остаётся умножить результат на c. Так ты выполняешь оба умножения и учитываешь каждый множитель исходного выражения.
Иногда удобнее начать со второго множителя. Чтобы получить такую запись, можно поменять местами множители по переместительному свойству, а группировку изменить по сочетательному: a · (b · c) = b · (a · c). Перестановка и перенос скобок — разные действия, и для каждого есть своё свойство. Вместе они дают больше вариантов вычисления.
Выбирая порядок, ищи пару множителей, произведение которой легко найти устно. Например, 25 · 4 равно 100, а 5 · 2 равно 10; такие сочетания упрощают дальнейший счёт. Сначала проверь, что выбранная пара действительно есть среди множителей выражения, затем умножь результат на оставшиеся числа.
| Способ | Запись | Когда удобно |
|---|---|---|
| Сначала умножить число на первый множитель | (a · b) · c | Когда a · b легко вычислить |
| Сначала умножить число на второй множитель | (a · c) · b | Когда a · c удобно считать |
| Изменить порядок множителей и сгруппировать удобные числа | (b · a) · c или (c · a) · b | Когда перестановка даёт простое произведение |
Сначала найди в выражении удобную пару и выбери соответствующую строку таблицы. Затем сгруппируй эту пару, соблюдая сочетательное свойство, а если нужно — переставь числа по переместительному. После этого обязательно домножь полученный результат на все оставшиеся множители.
Задача 1. Вычислите 3 · (4 · 5). Здесь можно сначала перемножить 3 и 4, а потом умножить результат на 5. Такой выбор удобен: оба действия просты и помогают увидеть, что ни один множитель не пропущен.
Ответ: 60.
Задача 2. Вычислите 8 · (125 · 7), выбрав удобный способ. Если начинать с чисел в скобках, получится 125 · 7 — это вычислить сложнее, чем произведение 8 · 125. Поэтому используем переместительное и сочетательное свойства, чтобы сначала объединить именно 8 и 125.
Ответ: 7000.
Задача 3. Вычислите 25 · (16 · 4) двумя способами и сравните вычисления. Первый способ — выполнить умножения в порядке, который задают скобки, а второй — выбрать более удобную пару множителей. Сравнение покажет, как свойства умножения позволяют упростить счёт, хотя результат остаётся тем же.
В первом способе сначала получено 16 · 4, а во втором — 25 · 4, которое легко найти устно. Оба способа дают одинаковое значение, потому что переместительное и сочетательное свойства не меняют произведение. Ответ: 1600.
Забывают умножить на второй множитель. После первого действия ученик может принять промежуточный результат за ответ, потому что перестаёт следить за исходной записью. Проверь, что каждый множитель выражения использован один раз и после первого умножения осталось ещё одно действие.
Переносят скобки и без объяснения меняют порядок. Эти преобразования легко смешать, так как оба помогают получить удобную запись. Перенос скобок обосновывается сочетательным свойством, а перестановка чисел — переместительным; проверь, что применено нужное свойство.
Считают, что a · (b · c) = a · b + a · c. Такая запись напоминает раскрытие скобок, поэтому её могут ошибочно перенести с умножения суммы на произведение. Проверь, что внутри скобок стоит: для произведения перемножают множители, а распределительное свойство действует на сумму.
Неверно находят удобное произведение после перегруппировки. Например, можно правильно выделить 8 и 125, но ошибиться в их произведении. Из-за этого неверное число перейдёт в дальнейшие действия; проверь промежуточный результат отдельным умножением или обратной проверкой делением.
Для вычислений нужны знание таблицы умножения и умение умножать многозначные числа. Если произведения пока считаются с ошибками, сначала повтори эти навыки: перегруппировка не заменяет правильного вычисления.
Правило опирается на переместительное и сочетательное свойства умножения. Первое меняет порядок множителей, второе — их группировку. Чтобы преобразовать выражение верно, различай эти два действия.
Умение перегруппировывать числа помогает в устных вычислениях и при упрощении числовых и буквенных выражений. Оно пригодится, когда среди множителей есть удобные пары, например 25 и 4. Так можно быстрее находить значение выражения без изменения его смысла.
Как умножить число на произведение?
Умножь число на один из множителей, а полученный результат — на другой. Например, a · (b · c) = (a · b) · c. Можно выбрать тот множитель, с которым удобнее считать.
Почему при переносе скобок значение произведения не меняется?
Скобки задают группировку множителей, но не меняют само действие — перемножение. Сочетательное свойство утверждает, что (a · b) · c и a · (b · c) дают одинаковый результат.
Можно ли сначала умножить число на второй множитель?
Да, можно: a · (b · c) = (a · c) · b. Для этого используют сочетательное свойство, а при перестановке множителей — переместительное.
Как выбрать, какие множители перемножать первыми?
Ищи пару чисел, произведение которой легко найти. Например, в выражении 8 · (125 · 7) удобно сначала перемножить 8 и 125: получится 1000.
Чем умножение числа на произведение отличается от раскрытия скобок при умножении суммы?
При умножении на произведение перемножают все множители, например a · (b · c) = (a · b) · c. Распределительное свойство применяют к сумме: a · (b + c) = a · b + a · c. Это разные правила.
Урок 18.Умножение числа на произведение
