"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение числа на произведение — это вычисление выражения вида a · (b · c), где число умножается на произведение двух других множителей. Можно сначала посчитать то, что стоит в скобках, а затем умножить результат на внешнее число. Но сочетательное свойство разрешает изменить группировку: a · (b · c) = (a · b) · c. Это помогает выбирать более удобный порядок действий, получать круглые числа и быстрее вычислять значения выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение — результат умножения и выражение, в котором числа соединены знаком умножения. Например, в записи 3 · 4 произведением называют и выражение, и его значение 12. Этот термин помогает отличать результат умножения от самих чисел, которые перемножают. В скобках тоже может находиться произведение, например b · c.
Множители — числа, которые перемножают; в выражении a · (b · c) множителями являются a и выражение (b · c). Внутри скобок множителями выступают b и c. Это название нужно, чтобы точно описывать состав выражения и не терять ни одно число при преобразовании. Если множителей несколько, их можно группировать по-разному.
Умножение числа на произведение — вычисление выражения вида a · (b · c), в котором один множитель представлен произведением. Здесь число a умножается не на сумму, а на результат умножения b и c. Понимание этой записи помогает выбрать порядок вычислений и не спутать разные правила действий со скобками. Сначала можно вычислить произведение внутри скобок.
Сочетательное свойство умножения — правило, по которому при умножении нескольких чисел можно менять их группировку, не меняя результата. Например, a · (b · c) можно записать как (a · b) · c. Это правило нужно, чтобы находить более удобные пары множителей и упрощать вычисления. При перегруппировке сами множители не исчезают и не добавляются.
Выражение a · (b · c) можно вычислить, сначала найдя b · c, а затем умножив полученный результат на a. Скобки показывают, что внутреннее произведение рассматривается как один множитель внешнего действия. Такой способ особенно понятен, когда значение b · c легко получить. Например, если в скобках стоят 5 и 2, сначала удобно найти 10.
Однако внутреннее произведение не всегда проще вычислять первым. Сочетательное свойство позволяет записать a · (b · c) = (a · b) · c и сначала умножить a на b. Причина в том, что умножение трёх чисел можно представить как последовательное умножение, а промежуточный результат зависит от выбранной пары. Например, пара 4 и 25 даёт 100 — число, с которым удобно продолжить вычисление.
Результат при смене группировки не меняется, потому что в обоих случаях перемножаются одни и те же множители. Меняется лишь то, какие два множителя объединены на первом шаге. Если все числа и знаки умножения сохранены, второе действие продолжает вычисление того же произведения. Поэтому равенство a · (b · c) = (a · b) · c верно.
Способ вычисления выбирают по удобству промежуточных результатов. Ищут пару множителей, которая даёт круглое число, например 2 и 5 или 4 и 25, либо просто облегчает счёт. Если удобнее сначала найти произведение в скобках, его и вычисляют первым; если выгоднее объединить внешний множитель с одним из внутренних, меняют группировку по сочетательному свойству. Такой выбор не изменяет выражение по смыслу.
Сочетательное свойство применяют и в числовых, и в буквенных выражениях. Например, запись x · (3 · y) можно преобразовать в (x · 3) · y, сохранив оба буквенных множителя и число 3. При этом нельзя произвольно убирать скобки, если из-за этого теряются множители или меняется знак действия. В вычислениях нужно следить за скобками и выполнять именно те действия, которые получаются после выбранной перегруппировки.
| Способ | Запись | Порядок действий | Когда удобно применять |
|---|---|---|---|
| Сначала вычислить произведение в скобках | a · (b · c) | Сначала найти b · c, затем умножить результат на a | Когда произведение в скобках вычисляется легко |
| Применить сочетательное свойство | a · (b · c) = (a · b) · c | Сначала умножить число на один из множителей, затем результат — на другой | Когда один из промежуточных результатов удобен для вычисления |
Сначала посмотри, легко ли вычислить произведение в скобках. Затем проверь, получится ли более простое число, если сгруппировать внешний множитель с одним из внутренних. Выбери удобный способ и запиши порядок действий так, чтобы было видно, какие множители ты объединяешь.
В скобках стоят 5 и 2, их произведение легко найти. Но можно также сгруппировать множители так, чтобы сначала получить круглое число. Сравним оба пути и убедимся, что результат совпадает.
Ответ: 60. Оба способа верны, а в этом примере каждый приводит к удобному вычислению.
Можно сначала выполнить действие в скобках, а можно соединить 4 с множителем 25. Второй вариант выглядит особенно удобным: произведение 4 · 25 равно круглому числу 100. Сравнение двух способов покажет, что сочетательное свойство не меняет ответа.
Ответ: 300. Второй способ удобен тем, что промежуточное произведение 100 легко умножить на 3.
В выражении два произведения, и каждое содержит множитель 7, а также множитель 5 внутри скобок. В каждом произведении можно применить сочетательное свойство и сначала перемножить 7 и 5. Так появятся простые промежуточные вычисления, а знак сложения между двумя частями останется на месте.
Ответ: 700. Перегруппировка упростила обе части выражения, но не изменила ни их значения, ни действие сложения между ними.
Забыть умножить на второй множитель. Например, ученик вычисляет a · (b · c), умножает a на b, но о c больше не вспоминает. Так происходит, если скобки воспринимают как лишнюю запись, а не как часть произведения. Проверь себя: после преобразования в решении должны остаться все три множителя.
Потерять множитель при перегруппировке. Иногда ученик меняет порядок чисел и случайно вычёркивает одно из них, словно сочетательное свойство сокращает выражение. На самом деле оно меняет только группировку, а не набор множителей. Для проверки выпиши исходные множители и сравни с новой записью: ни один не должен пропасть или появиться.
Раскрыть скобки как при умножении на сумму. Запись a · (b · c) ошибочно превращают в a · b + a · c. Такое правило относится к произведению числа на сумму, а внутри скобок здесь стоит произведение. Проверь знак между b и c: если это умножение, нужно считать произведение или применять сочетательное свойство, но не добавлять слагаемые.
Нарушить порядок действий. Ученик начинает считать внешнее действие, не разобрав выражение в скобках и не перегруппировав множители законным способом. Скобки указывают, какое действие выполняется первым при прямом вычислении. Чтобы проверить себя, либо сначала найди произведение внутри скобок, либо явно перепиши выражение по сочетательному свойству, а затем считай.
Для работы с произведением нужно знать смысл умножения, названия его компонентов и порядок действий. Сочетательное свойство связано с переместительным: переместительное меняет порядок множителей, а сочетательное — их группировку. Вместе эти свойства помогают преобразовывать буквенные выражения и выбирать удобный путь вычислений. Это пригодится при устном счёте и при изучении распределительного свойства умножения.
Можно ли в выражении a · (b · c) сначала умножить a на b?
Да. По сочетательному свойству a · (b · c) = (a · b) · c. Все три множителя остаются на месте, меняется только их группировка.
Почему при изменении скобок значение произведения не меняется?
Потому что сочетательное свойство умножения утверждает, что группировка множителей не влияет на результат. При этом сами множители и действие умножения сохраняются.
Всегда ли нужно сначала вычислять произведение в скобках?
Скобки задают порядок действий: при прямом вычислении сначала находят произведение внутри них. Но можно применить сочетательное свойство и перегруппировать множители, если так считать удобнее.
Чем умножение числа на произведение отличается от умножения числа на сумму?
При умножении на произведение используют сочетательное свойство: a · (b · c) = (a · b) · c. При умножении на сумму действует распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c.
Можно ли применять это свойство, если один из множителей записан буквой?
Да, сочетательное свойство верно и для буквенных выражений. Например, x · (4 · y) = (x · 4) · y; при преобразовании нужно сохранить все множители.
Урок 19.Умножение числа на произведение
