"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение натурального числа на 10 или 100 быстро увеличивает его в десять или сто раз. Чтобы выполнить такое действие, достаточно сохранить порядок цифр и приписать справа один или два нуля. За этим приёмом стоит изменение разрядов: цифры начинают обозначать десятки, сотни и более крупные единицы. Понимание причины помогает не путать правила и проверять ответы в вычислениях и задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение: единицы, десятки, сотни и далее. Например, в числе 352 цифра 5 стоит в разряде десятков и обозначает пять десятков. Разряды помогают понять, из каких частей составлено число. Без этого трудно объяснить, почему цифры меняют значение при умножении.
Разрядная единица — число, равное единице соответствующего разряда: 1, 10, 100, 1000 и так далее. Одна разрядная единица в каждом следующем разряде в десять раз больше предыдущей. Например, сотня состоит из десяти десятков. Это понятие помогает представить многозначное число как сумму разрядных частей.
Умножение на 10 — увеличение числа в 10 раз; для натурального числа это можно выполнить, приписав справа один ноль. Например, 23 · 10 = 230. Приём удобен, когда нужно быстро вычислить произведение, не умножая число столбиком. Его смысл связан с переходом цифр в более высокие разряды.
Умножение на 100 — увеличение числа в 100 раз; для натурального числа это можно выполнить, приписав справа два нуля. Так, 23 · 100 = 2300. Это правило позволяет быстро вычислять произведения и решать задачи, где предметы собраны по сто. Два нуля соответствуют переходу цифр сразу на два разряда.
При умножении на 10 каждая цифра числа переходит в разряд, который в десять раз выше: единицы становятся десятками, а десятки — сотнями. Это происходит потому, что значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её местом. Например, в числе 47 есть 4 десятка и 7 единиц, а после увеличения в десять раз получаются 4 сотни и 7 десятков. Поэтому запись 47 превращается в 470: цифры остаются прежними, но их значения становятся в десять раз больше.
При умножении на 100 цифры переходят на два разряда влево, потому что 100 = 10 · 10. Умножение на 100 можно выполнить как два последовательных умножения на 10: каждый такой шаг передвигает цифры ещё на один разряд. Например, единицы становятся сотнями, а десятки — тысячами. В записи натурального числа этому соответствуют два нуля справа, поэтому 35 · 100 = 3500.
Правило можно обосновать разложением числа по разрядам. Например, 24 = 20 + 4: при умножении на 10 получаем 20 · 10 + 4 · 10 = 200 + 40 = 240. Каждое слагаемое увеличивается в десять раз, потому что его разрядная единица становится в десять раз больше. Аналогично, при умножении на 100 сумма разрядных слагаемых увеличивается в сто раз.
Нули справа при умножении натурального числа на 10 или 100 не меняют исходные цифры, а показывают, что число стало в 10 или 100 раз больше. Например, цифра 6 в записи 6 обозначает шесть единиц, а в записи 60 — шесть десятков. В числе 600 она обозначает шесть сотен. Поэтому нули нужны не как новые значащие цифры, а как указание на изменившиеся разряды.
Для проверки результата полезно оценить его порядок: произведение на 10 должно быть больше исходного числа в десять раз, а на 100 — в сто раз. Умножая 32 на 10, ожидаем число, в котором 32 десятка, то есть 320. Если получилось 3200 или 32, действие выполнено неверно. Такая оценка помогает заметить ошибку до того, как ответ будет использован в задаче.
Используйте таблицу как памятку: сначала определите множитель, затем проследите, на сколько разрядов переходят цифры, и выполните запись. После вычисления проверьте, соответствует ли ответ ожидаемому увеличению числа. В строке проверки указано не отдельное действие, а способ оценить результат.
| Действие | Изменение разрядов | Приём записи | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение на 10 | Цифры переходят на один разряд выше | Приписать справа один ноль | 47 · 10 = 470 |
| Умножение на 100 | Цифры переходят на два разряда выше | Приписать справа два нуля | 306 · 100 = 30 600 |
| Как проверить результат | Число должно увеличиться в 10 или 100 раз | Сверить число нулей и порядок цифр | 24 · 100 = 2400, это в 100 раз больше 24 |
Задача 1. Вычислите 47 · 10. Множитель равен 10, поэтому число нужно увеличить в десять раз. При этом цифры перейдут на один разряд выше, а их порядок сохранится. Чтобы выполнить действие быстро, приписываем к записи числа один ноль справа.
Ответ: 470. Запись можно понять и по разрядам: 4 десятка превращаются в 4 сотни, а 7 единиц — в 7 десятков. Получается 4 сотни и 7 десятков, то есть 470. Проверка подтверждает, что множитель 10 учтён правильно.
Задача 2. Вычислите 306 · 100. Здесь множитель равен 100, значит, число увеличивается в сто раз. Удобно представить это как два умножения на 10 подряд. В записи исходные цифры 3, 0 и 6 должны остаться в том же порядке.
Ответ: 30 600. Ноль внутри числа 306 остаётся на своём месте: менять или убирать его нельзя. Два новых нуля ставятся именно справа, потому что цифры переходят на два разряда выше. Если бы справа появился только один ноль, число увеличилось бы лишь в десять раз.
Задача 3. В коробке 24 упаковки, в каждой по 100 карандашей. Сколько всего карандашей? Нужно найти общее количество одинаковых предметов: число упаковок умножить на количество карандашей в одной упаковке. Составляем выражение 24 · 100. Поскольку в каждой упаковке 100 карандашей, применяем правило умножения на 100.
Ответ: 2400 карандашей. Важно указать единицу счёта, чтобы было понятно, что именно посчитано. Проверить вычисление можно разложением: 24 упаковки по 100 — это 20 сотен и 4 сотни, всего 24 сотни. Значит, ответ согласуется с условием и правилом умножения.
При умножении на 10 иногда приписывают два нуля, путая множители 10 и 100. Ошибку допускают, если запоминают только, что при умножении добавляются нули, но не сверяются с множителем. Проверьте, на сколько разрядов должны перейти цифры: на один. Например, 47 · 10 = 470, а не 4700.
При умножении на 100 могут приписать только один ноль, потому что правило для 10 ошибочно переносят на другой множитель. Но число должно увеличиться в сто раз, то есть цифры переходят на два разряда. Проверьте число добавленных нулей и оцените результат. Например, 24 · 100 = 2400, а не 240.
Иногда переставляют или изменяют цифры исходного числа, забывая, что меняется их разрядное значение, а порядок цифр сохраняется. Такое происходит, когда разряды представляют как перемещение самих цифр в записи. Сверьте исходные и полученные цифры: все исходные должны идти в прежней последовательности. Например, при вычислении 306 · 100 запись начинается с цифр 3, 0, 6.
Ещё одна ошибка — приписать нули слева от числа: например, записать 0047 вместо 470. Нули слева не увеличивают число и не показывают переход цифр в более высокие разряды. Проверьте, что нули стоят именно справа и их количество соответствует множителю. Для умножения на 10 нужен один ноль, а на 100 — два.
Для работы с правилом нужно уметь читать и записывать натуральные числа, различать их разряды и выполнять умножение. Приём становится понятнее, если представлять число суммой разрядных слагаемых: так видно, как увеличивается значение каждой части. Позже умножение на 10 и 100 поможет быстрее выполнять вычисления с многозначными числами. Оно также пригодится в задачах с единицами измерения и при изучении десятичных дробей.
Почему при умножении на 10 приписывают один ноль?
При умножении на 10 каждая цифра переходит на один разряд выше: единицы становятся десятками, десятки — сотнями. Поэтому запись натурального числа сохраняет прежние цифры, а справа появляется ноль.
Почему при умножении на 100 приписывают два нуля?
Число 100 состоит из двух множителей 10: 100 = 10 · 10. Значит, каждая цифра переходит на два разряда выше, а в записи натурального числа справа появляются два нуля.
Меняется ли порядок цифр при умножении на 10 или 100?
Нет, порядок исходных цифр не меняется. Меняется их разрядное значение: при умножении на 10 цифры сдвигаются на один разряд, а при умножении на 100 — на два.
Можно ли умножить на 100, умножив число на 10 два раза?
Да. Поскольку 100 = 10 · 10, сначала умножьте число на 10, а затем полученный результат ещё раз на 10. В итоге справа к исходной записи добавятся два нуля.
Как проверить, что результат умножения получился правдоподобным?
Оцените, во сколько раз должен увеличиться исходный результат: в 10 раз при умножении на 10 и в 100 раз при умножении на 100. Затем проверьте, что приписано нужное число нулей и цифры остались в прежнем порядке.
Урок 20. Приёмы умножения числа на 10 и на 100
