Урок 22.Окружность и круг

Определения и обозначения

Окружность — линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром окружности и обычно обозначается заглавной буквой, например O. Общее расстояние от центра до точек окружности называют радиусом. Благодаря этому определению можно описывать окружность не как произвольный рисунок, а как множество точек с одним заданным свойством.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Иными словами, круг включает и границу, и все точки внутри неё, тогда как окружность — только граница. Если сравнить фигуру с диском, его край соответствует окружности, а весь диск — кругу. Это различие помогает правильно понимать, о какой части фигуры говорится в задаче.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Его длина равна расстоянию от центра до окружности, и все радиусы одной окружности имеют одинаковую длину. Радиус можно обозначать буквой r, а центр — буквой O. Радиус нужен, чтобы задавать размер окружности и строить её циркулем.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности, а диаметр — хорда, проходящая через центр. Концы хорды всегда лежат на окружности, но её середина не обязана совпадать с центром. У диаметра это условие выполняется, поэтому он является особой хордой. Диаметр обычно обозначают d.

Как это устроено

Представь точку O и выбери расстояние, например 3 см. Если отмечать все точки, отстоящие от O ровно на 3 см, получится окружность; это можно сделать с помощью циркуля, сохраняя одно и то же расстояние между иглой и грифелем. Точка O при этом остаётся неподвижной, а грифель проводит линию на выбранном расстоянии. Это расстояние и задаёт радиус, поэтому увеличение раствора циркуля делает окружность больше.

Чтобы получить круг, нужно рассматривать не только линию на расстоянии r от центра, но и все точки, расстояние от которых до центра не превышает r. Точки, удалённые от центра меньше чем на радиус, заполняют внутреннюю область; точки на расстоянии ровно r образуют границу. Поэтому окружность похожа на край диска, а круг — на диск целиком. Такое сравнение показывает, почему у окружности нет внутренней площади, а у круга есть.

Диаметр проходит через центр, поэтому его концы находятся по разные стороны от центра, а сам отрезок можно разделить центром на две части. Каждая часть — радиус: обе соединяют центр с точкой окружности и равны по длине. Значит, диаметр состоит из двух радиусов, и его длина равна d = 2r. Это верно для любой окружности, потому что равенство радиусов следует из определения, а не зависит от размера фигуры.

Хорда может соединять любые две точки окружности, поэтому она не обязательно проходит через центр. Если отрезок проходит через центр, он по определению становится диаметром; если нет — остаётся хордой, но не диаметром. Например, можно провести отрезок между двумя точками на боковых участках окружности и не задеть центр. Так понятия связаны: каждый диаметр — хорда, однако не каждая хорда — диаметр.

Положение точки удобно определять по расстоянию от неё до центра. Сравни это расстояние с радиусом: равенство означает, что точка лежит на окружности, меньшее расстояние — что она внутри круга, большее — что она вне круга. Причина в том, что граница находится ровно на расстоянии r, а внутренность занимает область ближе к центру. Например, если радиус равен 4 см, точка на расстоянии 3 см внутри круга, а точка на расстоянии 5 см снаружи.

Окружность и круг: сравнение

Чтобы не перепутать понятия, сначала спроси себя, говорится ли только о границе или обо всей заполненной фигуре. Затем проверь, какие точки входят в рассматриваемый объект: только равноудалённые от центра или ещё и внутренние. Сравнение особенно полезно, когда в задаче упоминаются точки на окружности и внутри круга.

Разбор задач

Построение окружности и радиуса

Условие. Начертить окружность с центром O и радиусом 3 см, отметить на ней точку A и провести радиус OA. При построении важно, чтобы расстояние от центра до каждой точки линии было одинаковым. Циркуль позволяет сохранить это расстояние во время черчения.

1. Отмерь линейкой 3 см и установи такое расстояние между иглой и грифелем циркуля.
2. Поставь иглу в точку O и, не меняя раствор циркуля, поверни его вокруг иглы.
3. Отметь на полученной линии точку A и проведи линейкой отрезок OA.

Ответ. Построена окружность с центром O и радиусом 3 см, а отрезок OA — её радиус. Он имеет длину 3 см, потому что A лежит на окружности. Игла циркуля фиксировала центр, а расстояние до грифеля оставалось неизменным.

Найти диаметр по радиусу

Условие. Радиус окружности равен 4 см. Найти диаметр и объяснить, почему полученный отрезок является хордой. Чтобы выбрать нужное действие, вспомни, как диаметр связан с радиусами. Затем проверь отрезок по определению хорды.

1. Запиши связь диаметра и радиуса: d = 2r.
2. Подставь значение радиуса: d = 2 · 4 см = 8 см.
3. Проверь определение: концы диаметра лежат на окружности, а сам отрезок соединяет эти две точки.

Ответ. Диаметр равен 8 см. Он является хордой, поскольку соединяет две точки окружности. Кроме того, он проходит через центр, поэтому это не просто хорда, а диаметр.

Положение точки относительно окружности

Условие. Расстояние от точки P до центра окружности равно 5 см, а радиус окружности — 4 см. Нужно определить, где находится точка P относительно окружности и круга. Для этого не требуется строить фигуру: достаточно сравнить два расстояния. Сравнение покажет, достигла ли точка границы круга.

1. Обозначь расстояние от центра до P: OP = 5 см.
2. Сравни его с радиусом: 5 см больше 4 см.
3. Так как точка удалена от центра дальше, чем граница окружности, сделай вывод о её положении.

Ответ. Точка P находится вне круга и не лежит на окружности. Граница круга расположена на расстоянии 4 см от центра, а P удалена на 5 см. Если бы расстояние было равно 4 см, точка лежала бы на окружности, а если бы было меньше 4 см — внутри круга.

Типичные ошибки

Ошибка: называть круг окружностью или окружность кругом. Их путают, потому что в разговоре обе фигуры часто представляют как круглый предмет. Проверь себя вопросом: входит ли внутренняя область? Если речь только о линии-границе, это окружность; если область тоже включена, это круг.

Ошибка: считать любую хорду диаметром. Такое происходит, когда запоминают, что диаметр соединяет две точки окружности, но забывают условие о центре. Проверь, проходит ли отрезок через центр: если нет, это хорда, но не диаметр. Каждый диаметр — хорда, однако обратное утверждение неверно.

Ошибка: принимать радиус за расстояние между двумя точками окружности. Путаница возникает из-за того, что радиус и хорда оба являются отрезками, связанными с окружностью. У радиуса один конец обязательно находится в центре, а другой — на окружности. Поэтому при проверке найди центр и посмотри, соединяет ли отрезок именно его с точкой границы.

Ошибка: считать, что точка внутри круга лежит на окружности. Это случается, если не различать границу и внутреннюю область. Сравни расстояние от точки до центра с радиусом: меньшее значение указывает на внутренность, равное — на окружность. Точка может принадлежать кругу, но при этом не лежать на его границе.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью пригодятся навыки измерения и сравнения отрезков, а также умение пользоваться линейкой и циркулем. Линейкой измеряют радиус и диаметр, а циркулем строят окружность с заданным центром и радиусом. Эти действия помогают аккуратно выполнять геометрические построения и проверять результат.

Понятия радиуса, диаметра и хорды понадобятся при изучении построений и свойств окружности, а также при вычислении её длины и площади круга. Связь d = 2r позволяет переходить от радиуса к диаметру и обратно. Понимание разницы между кругом и окружностью помогает выбрать, о какой фигуре идёт речь в условии задачи.

Что запомнить

• Окружность — граница, а круг — область, ограниченная этой границей.
• Центр равноудалён от всех точек окружности.
• Расстояние от центра до окружности называется радиусом.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам: d = 2r.