"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Среднее арифметическое помогает представить несколько чисел одним значением: будто их сумму поровну распределили между всеми числами набора. Чтобы его найти, складывают все числа и делят сумму на их количество. Этот показатель используют для сравнения результатов, обработки измерений и решения практических задач. Среднее может не совпадать ни с одним исходным числом и быть дробным, поэтому важно учитывать каждый элемент набора и не путать сумму со средним.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее арифметическое нескольких чисел — число, равное сумме этих чисел, делённой на их количество. Если числа обозначены a₁, a₂, …, aₙ, то их среднее равно (a₁ + a₂ + … + aₙ) : n. В сумму входят все числа набора, даже если некоторые из них повторяются. Эта формула нужна, чтобы заменить набор одним значением, которое учитывает все его элементы.
Среднее арифметическое двух чисел — половина их суммы. Для чисел a и b это записывают так: (a + b) : 2. Общий способ здесь тот же: сначала складывают два числа, затем делят сумму на количество слагаемых, то есть на 2. Такое правило удобно, например, когда нужно найти середину между двумя значениями.
Среднее значение набора чисел — число, которое получилось бы, если условно распределить сумму набора поровну между всеми его числами. Например, если у трёх человек вместе 12 предметов, равное распределение дало бы по 4 предмета каждому. В числовой задаче среднее помогает сравнивать наборы или описывать их одним показателем, не забывая, что реальные значения могут различаться.
Количество чисел — это число слагаемых в наборе. Если записаны 5, 5 и 12, чисел три, хотя разных значений только два. Именно на количество слагаемых делят сумму при вычислении среднего арифметического. Поэтому перед делением нужно пересчитать все элементы, включая повторяющиеся.
Представь, что несколько величин составляют общий запас, который нужно разделить поровну. Если сложить их значения, получится весь запас, а деление на число величин покажет долю каждой при равном распределении. Например, сумма трёх оценок показывает общий результат за три работы, а деление на 3 — среднюю оценку за одну работу. Так становится понятным, почему среднее связано и с суммой, и с количеством чисел.
Из этого смысла следует формула: сложить все числа, а затем разделить полученную сумму на количество слагаемых. Сначала находят общий итог, потому что нельзя узнать равные доли, не зная, сколько всего распределяют. Потом делят именно на число элементов, между которыми этот итог распределяется. Если одно число случайно пропустить, изменится общая сумма и среднее уже будет относиться к другому набору.
Замена всех чисел их средним арифметическим сохраняет общую сумму. Пусть чисел n, а их среднее равно S : n, где S — исходная сумма. Если взять это среднее n раз, получится (S : n) · n = S. Значит, равные значения сохраняют общий итог, хотя отдельные числа могут отличаться от первоначальных.
Если известно среднее и количество чисел, но одно число неизвестно, сначала нужно восстановить сумму всего набора. Для этого среднее умножают на количество: именно столько составили бы все числа вместе при равном распределении. Затем из полученной суммы вычитают сумму известных слагаемых. Остаток и будет неизвестным числом, если данные задачи согласованы.
Среднее не обязано быть одним из чисел набора, потому что оно описывает равное распределение, а не выбирает готовое значение. Например, у чисел 1 и 2 среднее равно 1,5, хотя такого элемента в наборе нет. Дробный результат допустим: он показывает долю, приходящуюся на один элемент, а не обязательно реально существующее целое количество. Проверить ответ можно, умножив среднее на количество чисел: должна получиться исходная сумма.
Таблица помогает выбрать действие по тому, что известно и что требуется найти. При вычислении среднего сначала сложи все элементы, а затем пересчитай количество слагаемых. Для неизвестного числа используй обратный шаг: восстанови общую сумму умножением среднего на количество.
| Что известно | Действие | Формула или результат |
|---|---|---|
| Несколько чисел: сумма и их количество | Разделить сумму на количество | Среднее = сумма : количество |
| Два числа | Сложить числа и разделить на 2 | (a + b) : 2 |
| Среднее арифметическое и количество чисел: требуется найти их сумму | Умножить среднее на количество | Сумма = среднее · количество |
| Среднее арифметическое, количество чисел и все числа, кроме одного: требуется найти неизвестное число | Из общей суммы вычесть сумму известных чисел | Неизвестное = среднее · количество − сумма известных чисел |
Задача 1. Найдите среднее арифметическое чисел 6, 8 и 10. Нужно учесть все три числа, поэтому сначала найдём их общую сумму. Затем разделим её на количество слагаемых; порядок действий повторяет определение среднего.
Ответ: 8. Проверка: три числа, равные 8, дали бы сумму 8 · 3 = 24, такую же, как исходные числа.
Задача 2. За четыре дня ученик прочитал 12, 18, 15 и 11 страниц. Сколько страниц в среднем он читал за день? Данные описывают все четыре дня, включая любой день с нулевым результатом, если бы он был. Поэтому число дней для деления — 4, а не количество дней, когда чтение было ненулевым.
Ответ: в среднем ученик читал 14 страниц за день. Это среднее значение: в отдельный день он мог прочитать больше или меньше.
Задача 3. Среднее арифметическое пяти чисел равно 14. Четыре числа — 9, 12, 16 и 18. Найдите пятое число. Сначала найдём сумму всех пяти чисел, потому что значение среднего уже известно. Потом сравним эту сумму с суммой четырёх известных чисел: разность даст пропущенное слагаемое.
Ответ: пятое число равно 15. Проверка: 9 + 12 + 16 + 18 + 15 = 70, а 70 : 5 = 14.
Ошибка — делить сумму на количество промежутков между числами. Так бывает, если при подсчёте смотрят на расстояния между записями, а не на сами слагаемые. Например, у трёх чисел два промежутка, но делить нужно на 3. Пересчитай числа в наборе, включая первое и последнее.
Ошибка — сложить не все числа набора. Пропущенное слагаемое уменьшит сумму, поэтому среднее окажется неверным; иногда пропуск возникает, когда числа записаны в несколько строк. Чтобы проверить себя, отметь каждое исходное число после того, как включил его в сложение. Число отмеченных элементов должно совпасть с количеством делимых слагаемых.
Ошибка — считать, что среднее обязательно совпадает с одним из исходных чисел. Это ожидание возникает, если среднее воспринимают как выбор типичного готового значения, хотя оно может лежать между числами. Например, среднее 2 и 3 равно 2,5. Проверяй результат не сравнением с отдельными элементами, а умножением среднего на количество: должна восстановиться сумма.
Ошибка — делить среднее на количество, когда требуется найти неизвестное число. При таком действии общая сумма не восстанавливается: для обратного перехода от среднего к сумме нужно умножить на количество элементов. После этого вычти сумму всех известных чисел. Проверка проста: подставь найденное число и заново вычисли среднее всего набора.
Для вычисления среднего нужны навыки сложения чисел, деления суммы на натуральное число и подсчёта слагаемых. Если среднее или исходные значения нецелые, пригодятся действия с дробями и десятичными дробями. Обратные задачи, где требуется восстановить сумму или неизвестный элемент, связывают тему с умножением и вычитанием.
Среднее арифметическое применяют при обработке результатов измерений и подсчёте средних показателей. Оно встречается в задачах о движении и производительности, когда нужно описать результат за несколько равных промежутков времени или работы. В каждой такой задаче важно понять, какие именно значения входят в набор и чему равно их количество.
Почему сумму нужно делить именно на количество чисел?
Среднее арифметическое показывает, сколько пришлось бы на одно число, если общую сумму распределить поровну. Поэтому сумму делят на число элементов набора, а не на промежутки между ними.
Может ли среднее арифметическое не быть одним из исходных чисел?
Да. Например, среднее чисел 2 и 5 равно 3,5, а такого числа в наборе нет. Среднее отражает общий результат, а не обязательно повторяет один из элементов.
Что делать, если среднее арифметическое получилось дробным?
Дробный результат оставляют дробью или записывают десятичной дробью, если этого требует задача. Он означает, что при равном распределении на каждую величину приходится дробная часть.
Как найти неизвестное число, если известно среднее арифметическое?
Сначала умножьте среднее на количество всех чисел — так получится их общая сумма. Затем вычтите из неё сумму известных чисел.
Можно ли находить среднее арифметическое чисел с разным количеством цифр?
Да, количество цифр в числах не имеет значения. Нужно сложить все числа набора и разделить сумму на их количество.
Урок 23. Среднее арифметическое
