Урок 24. Среднее арифметическое

Определения и обозначения

Среднее арифметическое нескольких чисел — частное от деления их суммы на количество этих чисел. Например, для чисел 4, 6 и 8 нужно найти сумму 18 и разделить её на 3: получится 6. Это правило даёт одно значение, которое можно использовать вместо всего набора при сравнении общих сумм.

Среднее арифметическое двух чисел — половина их суммы. Это частный случай общего правила: чисел два, поэтому сумму делят на 2, то есть умножают на ½. Например, среднее чисел 7 и 11 равно (7 + 11) : 2 = 9.

Среднее арифметическое набора данных — число, которым можно заменить все данные без изменения их общей суммы. Например, значения 2, 4 и 6 в сумме дают 12, и три числа 4 дали бы ту же сумму. Такое понимание помогает объяснить, почему среднее характеризует набор целиком, а не отдельный его элемент.

Как это устроено

Чтобы найти одно число, равное по сумме нескольким данным числам, сначала складывают значения, а затем делят сумму на их количество. Деление показывает, какая доля общей суммы приходится на один элемент, если распределить сумму поровну. Поэтому среднее арифметическое можно представить как результат такого равного распределения.

При вычислении нужно учесть каждый элемент и правильно посчитать их количество. Если одно число пропустить, изменится общая сумма; если ошибиться с количеством, сумма будет распределена на неверное число частей. Порядок слагаемых на результат не влияет, потому что от перестановки чисел их сумма остаётся той же.

Среднее арифметическое находится между наименьшим и наибольшим числами набора, если эти числа не равны. Ведь сумма не может дать среднее меньше каждого значения или больше каждого значения: при делении на количество получается общий уровень набора. Это свойство позволяет заметить ошибку, если ответ оказался за пределами набора.

Изменение отдельных значений влияет на среднее, потому что меняется общая сумма. Если одно из n чисел увеличить на d, сумма увеличится на d, а при делении на n среднее вырастет на d/n. Например, если одно из четырёх значений увеличить на 8, среднее увеличится на 2.

Среднее удобно использовать, чтобы описать типичный уровень данных одним числом. Но отдельное очень большое или очень малое значение способно заметно изменить сумму, а значит, и среднее. Поэтому при сравнении наборов полезно учитывать не только среднее, но и сами значения, особенно если одно из них сильно отличается от остальных.

Среднее арифметическое: правило, обозначения и проверка

Сначала определите, какие значения входят в набор, и посчитайте их количество. Затем выберите строку таблицы, подходящую к задаче, и проверьте ответ по границам набора. Для двух чисел можно воспользоваться отдельной записью, но результат будет тем же, что и по общему правилу.

Разбор задач

Задача. Найдите среднее арифметическое чисел 6, 8 и 10. Все три значения равноправно входят в набор, поэтому сначала найдём их общую сумму. После этого разделим её на число слагаемых, а в конце проверим, попадает ли результат между крайними значениями.

1. Складываем числа: 6 + 8 + 10 = 24.
2. Считаем количество чисел: их три.
3. Делим сумму на количество: 24 : 3 = 8.

Ответ: 8. Это значение находится между 6 и 10, значит, проверка по границам набора пройдена.

Задача. За четыре дня ученик прочитал 12, 16, 10 и 18 страниц. Сколько страниц в среднем он читал за день? Каждый отрезок времени длится один день, поэтому количество страниц за каждый день можно считать одним значением набора. Найдём среднее этих четырёх значений.

1. Складываем прочитанные страницы: 12 + 16 + 10 + 18 = 56.
2. Делим сумму на число дней: 56 : 4 = 14.
3. Проверяем: 14 находится между наименьшим значением 10 и наибольшим 18.

Ответ: в среднем ученик читал 14 страниц за день. Это среднее значение не означает, что в каждый день он прочитал ровно 14 страниц.

Задача. Среднее арифметическое пяти чисел равно 14. Четыре числа равны 11, 12, 15 и 18. Найдите пятое число. Сначала восстановим сумму всех пяти чисел: среднее показывает, на какую сумму приходится каждое число в равном распределении. Затем из общей суммы вычтем известные значения.

1. Находим общую сумму: 14 · 5 = 70.
2. Складываем известные числа: 11 + 12 + 15 + 18 = 56.
3. Вычитаем известную сумму: 70 − 56 = 14.

Ответ: пятое число равно 14. Проверка: сумма всех чисел равна 70, а 70 : 5 = 14, как и указано в условии.

Типичные ошибки

Ошибка: делить сумму на число, не равное количеству слагаемых. Так бывает, если ученик неверно пересчитал элементы или принял за количество другое число из условия. Пересчитайте, сколько значений дано, и проверьте, что именно на это число делите сумму.

Ошибка: сложить только часть данных и пропустить одно из чисел. При длинном наборе легко потерять элемент, особенно если считать устно. Перед вычислением выпишите значения или отмечайте каждое использованное число, а затем сравните их количество с исходным набором.

Ошибка: принять среднее за сумму или за одно из исходных чисел. Сумма показывает общий итог, а среднее получается после деления этого итога на количество значений. Проверьте, что выполнили оба действия, и оцените, правдоподобен ли ответ относительно крайних значений.

Ошибка: считать, что среднее обязательно должно совпасть с одним из чисел набора. Среднее может быть дробным и не входить в исходный набор, например среднее чисел 1 и 2 равно 1,5. Для проверки вычислите сумму и разделите её на количество, не округляя ответ без необходимости.

Связь с другими темами

Для вычисления среднего нужны навыки сложения чисел, в том числе положительных и отрицательных, и деления суммы на натуральное число. Это умение пригодится при чтении таблиц и диаграмм, анализе результатов измерений и решении задач со статистическими данными. Среднее арифметическое также подготавливает к изучению других статистических характеристик набора данных.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество.
• Каждое число набора учитывают ровно один раз.
• Для двух чисел среднее арифметическое равно половине их суммы.
• Среднее арифметическое не обязано быть целым числом.
• Среднее арифметическое набора находится между его наименьшим и наибольшим значениями.