"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение на двузначное число удобно выполнять по разрядам: представить второй множитель как сумму десятков и единиц, умножить на каждое слагаемое и сложить результаты. Например, 26 · 34 = 26 · 30 + 26 · 4. При записи столбиком сначала находят произведение на единицы, затем на десятки; второй результат сдвигают на разряд. Такой способ помогает уверенно умножать многозначные числа и проверять, правдоподобен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — натуральное число, записанное двумя цифрами. Первая цифра показывает число десятков, вторая — число единиц: например, в числе 34 есть 3 десятка и 4 единицы. Представление числа через десятки и единицы помогает понять, на какие части удобно разделить умножение.
Разложение двузначного числа на разрядные слагаемые — запись вида 34 = 30 + 4. Здесь 30 показывает десятки, а 4 — единицы; оба слагаемых вместе дают исходное число. Такое разложение нужно, чтобы заменить умножение на двузначное число несколькими более простыми действиями.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одно из разрядных слагаемых второго множителя. Например, при вычислении 26 · 34 числа 26 · 30 и 26 · 4 — неполные произведения. Их называют неполными, потому что каждое учитывает только часть второго множителя.
Умножение столбиком на двузначное число — запись вычисления, в которой отдельно находят неполные произведения, а затем складывают их. Эта запись помогает не путать разряды и выполнять вычисления по порядку. Под каждой цифрой результата сохраняют нужный разряд, а перенос десятков отмечают в следующем шаге.
Сначала двузначный множитель представляют как сумму десятков и единиц. Например, 34 = 30 + 4, поэтому 26 · 34 = 26 · (30 + 4) = 26 · 30 + 26 · 4. Это работает благодаря распределительному свойству умножения: число, умноженное на сумму, равно сумме произведений. Вместо одного непривычного действия получаются два знакомых умножения.
Первое неполное произведение находят умножением на цифру единиц второго множителя. Второе получают умножением на цифру десятков, но учитывают, что эта цифра обозначает десятки: например, цифра 3 в числе 34 означает 30. Поэтому при записи столбиком результат второго умножения сдвигают на один разряд влево. Сдвиг показывает разрядное значение и не даёт принять десятки за единицы.
При умножении столбиком начинают с единиц первого множителя. Перемножают их с цифрой единиц второго множителя, записывают цифру единиц полученного результата, а десятки переносят к следующему разряду. Затем умножают цифру следующего разряда и прибавляют перенос; так продолжают слева, пока не будут обработаны все цифры первого множителя. Если на очередном шаге снова получается двузначное число, единицы записывают, а десятки переносят дальше.
После того как оба неполных произведения найдены, их складывают, потому что вместе они дают произведение на десятки и на единицы — то есть на весь второй множитель. Сложение выполняют по разрядам, не забывая возможные переносы. Оно также служит отдельным местом для проверки: можно пересчитать сумму или сложить значения разрядов ещё раз. Если сложить только одно неполное произведение, ответ будет учитывать лишь часть множителя.
Перед вычислением полезно прикинуть порядок величины результата: округлить множители до удобных чисел и перемножить их. Например, произведение числа около 368 на число около 45 будет близко к произведению нескольких сотен на несколько десятков, то есть к десяткам тысяч. Оценка не заменяет точное вычисление, но помогает заметить явную ошибку в разряде или пропущенный ноль. Точный результат также можно проверить разложением второго множителя и отдельным вычислением обоих слагаемых.
| Этап | Действие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Умножение на единицы второго множителя | Умножить первый множитель на цифру единиц. | Начинать с разряда единиц; переносить десятки. |
| Запись первого неполного произведения | Записать полученный результат под множителями. | Сохранить правильное положение разрядов. |
| Умножение на десятки второго множителя | Умножить первый множитель на цифру десятков. | Помнить, что цифра означает десятки, а не единицы. |
| Запись второго неполного произведения со сдвигом на разряд | Начать запись на один разряд левее первого результата. | Сдвиг показывает умножение на десятки. |
| Сложение неполных произведений | Сложить оба полученных результата по разрядам. | Учесть переносы при сложении. |
| Проверка порядка величины результата | Округлить множители и оценить произведение. | Точный ответ должен быть близок к оценке по порядку величины. |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, когда закончил предыдущий. Особое внимание удели второму неполному произведению: его сдвиг связан с разрядом десятков. В конце сложи результаты и сравни ответ с приблизительной оценкой.
Вычисли 23 · 14, разложив второй множитель на разрядные слагаемые. Здесь можно не строить запись столбиком: разложим 14 на 10 и 4 и умножим 23 на каждую часть. Затем сложим результаты, потому что вместе они учитывают весь множитель 14.
Ответ: 322. Проверка: 23 · 14 должно быть больше, чем 23 · 10 = 230, и полученное 322 этому условию подходит.
Вычисли столбиком 47 · 26. В числе 26 два десятка и 6 единиц, поэтому нужно найти произведения 47 · 6 и 47 · 20. Запись второго результата со сдвигом сразу показывает, что он относится к десяткам.
Ответ: 1222. Можно проверить разложением: 47 · 26 = 47 · 20 + 47 · 6 = 940 + 282, значит полученная сумма верна.
Вычисли 368 · 45 столбиком и проверь, разумен ли ответ. Сначала оценим результат: 368 близко к 400, а 45 — к 50, поэтому произведение будет примерно 400 · 50 = 20 000. Теперь точно найдём оба неполных произведения, не забывая переносы в каждом разряде.
Ответ: 16 560. Разложение 45 = 40 + 5 даёт ту же проверку: 368 · 40 + 368 · 5 = 14 720 + 1840 = 16 560.
Первое неполное произведение иногда записывают без сдвига, как будто цифра десятков — это единицы. Так происходит, если забыть, что в числе 26 цифра 2 означает 20. Проверь себя: произведение на десятки должно быть в десять раз больше произведения на ту же цифру без учёта разряда; можно также разложить множитель на разрядные слагаемые.
Можно правильно умножить первый множитель на цифру десятков, но не учесть её разрядное значение. Например, 47 · 2 — это 94, однако для 47 · 26 нужно найти 47 · 20 = 940. Ошибку допускают, когда смотрят только на цифры, а не на их места. Проверь, что второе неполное произведение сдвинуто влево или оканчивается нулём.
При умножении отдельных цифр иногда забывают перенести десятки в следующий разряд. Тогда одна или несколько следующих цифр результата оказываются меньше нужных. Обычно это случается, когда ученик записывает только цифру единиц произведения. После каждого шага проверь, остались ли десятки для переноса, и прибавь их к следующему произведению.
Ещё одна ошибка — сложить неполные произведения неверно или остановиться после вычисления только одного из них. Причина в том, что столбик содержит несколько промежуточных результатов, а ответ получается лишь после их сложения. Проверь сумму отдельно по разрядам и сравни её с результатом разложения множителя. Если ответ равен только одному неполному произведению, вероятно, второе было пропущено.
Для умножения столбиком нужно уметь умножать многозначное число на однозначное и складывать многозначные числа по разрядам. Разложение множителя опирается на знание разрядного состава натуральных чисел, а переход от произведения на сумму к сумме произведений — на распределительное свойство умножения. Освоенный способ пригодится при вычислениях с многозначными числами и решении текстовых задач. Позже он станет основой для умножения на многозначные множители.
Почему двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы?
Так мы используем распределительное свойство: умножить на сумму можно, отдельно умножив на каждое слагаемое, а затем сложив результаты. Например, 23 · 14 = 23 · 10 + 23 · 4. Это превращает умножение на двузначное число в два более простых вычисления.
Почему при умножении столбиком сначала умножают на единицы?
Единицы записаны в правом разряде, поэтому их результат можно сразу расположить под единицами первого множителя. Затем вычисляют произведение на десятки и записывают его со сдвигом. Такой порядок делает разряды неполных произведений заметными.
Зачем второе неполное произведение записывать со сдвигом?
Вторую цифру множителя обозначает не просто число, а количество десятков. Например, в числе 26 цифра 2 означает 20, поэтому умножать нужно на 20, а не на 2. Сдвиг показывает, что результат относится к разряду десятков.
Что делать, если при умножении цифр получается двузначное число?
В разряд результата записывают только цифру единиц, а десятки переносят в следующий разряд. При следующем умножении перенос прибавляют к полученному произведению. В конце нужно проверить, что перенос не потерян.
Как быстро проверить, что ответ получился правдоподобным?
Округли множители до удобных чисел и оцени произведение. Например, 368 · 45 близко к 400 · 50 = 20 000, значит точный ответ должен быть примерно такого порядка. Для точной проверки можно отдельно разложить второй множитель на десятки и единицы.
Урок 24.Умножение на двузначное число
