"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение на двузначное число удобно выполнять, если представить второй множитель как сумму десятков и единиц. Каждое слагаемое даёт отдельное неполное произведение, а их сумма равна искомому произведению. Этот способ можно записать столбиком: он помогает не потерять разряды и аккуратно выполнять вычисления с многозначными числами. Главное — правильно сдвинуть произведение на десятки и проверить сложение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение на двузначное число — способ найти произведение, представив один из множителей как сумму десятков и единиц. Например, при умножении на 24 можно сначала умножить число на 20, а потом на 4. Такой приём превращает один сложный шаг в два более простых. Он особенно удобен для письменных вычислений с многозначными числами.
Разрядные слагаемые — слагаемые, на которые раскладывают двузначное число по разрядам. Например, 24 = 20 + 4: число 20 показывает два десятка, а 4 — четыре единицы. Такое разложение нужно, чтобы отдельно учесть вклад десятков и единиц в произведение. Разрядные слагаемые не меняют исходное число, а лишь представляют его в удобном виде.
Неполное произведение — результат умножения числа на одно из разрядных слагаемых второго множителя. Для выражения 34 · 12 такими результатами будут 34 · 2 и 34 · 10. Их называют неполными, потому что каждый из них учитывает только часть множителя. Чтобы получить полное произведение, неполные произведения складывают.
Письменный алгоритм умножения — запись вычисления столбиком, в которой находят неполные произведения и складывают их. Цифры при этом располагают по разрядам, чтобы десятки не спутать с единицами. Алгоритм помогает выполнять действия последовательно и замечать ошибки в записи. Особенно полезен он, когда числа состоят из нескольких цифр.
Двузначный множитель удобно представить суммой десятков и единиц, потому что так понятнее, из каких частей состоит число. Например, 23 — это 20 и 3, поэтому умножение на 23 можно заменить умножением на 20 и на 3. Основа такого способа — распределительное свойство умножения относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c. Оно гарантирует, что сумма двух вычислений даст тот же результат, что и умножение на исходное число.
Чтобы найти неполные произведения, сначала умножают первый множитель на цифру единиц второго множителя. Затем умножают его на число десятков, то есть учитывают, что цифра стоит в разряде десятков. Например, у множителя 23 сначала берут 3, а потом 20. Такой порядок удобен: сначала выполняется короткое умножение на единицы, а затем — на десятки.
Второе неполное произведение записывают со сдвигом на один разряд влево, потому что оно относится к десяткам. Например, при умножении 246 на 20 результат равен 4920, а не 492: каждая цифра результата сдвинута на разряд выше. В столбике это показывают тем, что запись второго результата начинают под разрядом десятков. Другой способ — явно поставить ноль в разряде единиц, чтобы обозначить умножение на десятки.
После нахождения обоих неполных произведений их складывают, располагая единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. При сложении, если в разряде получается 10 или больше, лишний десяток переносят в следующий разряд. Проверить запись можно по отдельным действиям: первое неполное произведение должно соответствовать умножению на единицы, а второе — на десятки. Затем полезно оценить, правдоподобен ли итог по размеру.
Если в одном из чисел есть нули, нужно внимательно сохранять разрядное значение каждой цифры. При умножении на цифру 0 соответствующее промежуточное произведение равно нулю, но положение следующих цифр в записи всё равно определяется исходным разрядом. Например, в числе 508 десятки равны нулю, а сотни и единицы остаются на своих местах. Пропуск нуля при записи может сдвинуть цифры и изменить всё число, поэтому проверяй, в каком разряде стоит каждый результат.
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала запиши результаты умножения на единицы и десятки, затем сложи их. В графе «Что важно учесть» указано, где чаще всего теряется разряд или возникает ошибка. Перед переходом к следующему этапу проверь, что текущее действие выполнено с нужным разрядным слагаемым.
| Этап | Действие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Первое неполное произведение | Умножить первый множитель на цифру единиц второго множителя. | Записывать результат, начиная с разряда единиц. |
| Второе неполное произведение | Умножить первый множитель на число десятков второго множителя. | Сдвинуть запись на один разряд влево или поставить ноль в разряде единиц. |
| Сложение неполных произведений | Сложить оба промежуточных результата. | Совместить одинаковые разряды и выполнить перенос, если он требуется. |
| Проверка результата | Оценить порядок ответа или повторить вычисление. | Сверить, что результат согласуется с примерной оценкой произведения. |
Вычислите 34 · 12. Множитель 12 состоит из 10 и 2, поэтому вычисление можно разделить на два простых умножения. Сначала найдём произведение на единицы, потом на десятки и сложим результаты. Так мы не смешиваем разряды и видим, откуда получается ответ.
Ответ: 408. Проверка по распределительному свойству: 34 · (10 + 2) = 34 · 10 + 34 · 2. Получились те же два слагаемых — 340 и 68. Значит, способ вычисления соответствует разложению множителя.
Вычислите 246 · 23 столбиком. Здесь второй множитель — 23, то есть 20 + 3. Нужно получить отдельный результат для 3 и для 20, причём запись умножения на 20 сдвинуть к разряду десятков. Именно сдвиг позволяет не принять 20 за 2.
Ответ: 5658. Проверим разложением: 246 · 23 = 246 · 20 + 246 · 3 = 4920 + 738. В записи столбиком важно было сдвинуть второе неполное произведение, иначе получилось бы умножение на 2 вместо 20.
Вычислите 508 · 46 столбиком и проверьте ответ оценкой. В первом множителе есть ноль, поэтому особенно внимательно следим за разрядами, но само умножение выполняем обычным способом. Множитель 46 раскладывается на 40 и 6. После нахождения неполных произведений оценим, какого порядка должен быть ответ.
Ответ: 23 368. Оценка не обязана совпадать с точным результатом, она помогает проверить его порядок. Если бы при умножении на 40 забыли сдвиг, итог оказался бы намного меньше ожидаемого. Ноль в числе 508 не меняет порядок действий, но требует аккуратной записи.
Если второе неполное произведение не сдвинуть, получится умножение на цифру десятков, а не на число десятков: например, на 2 вместо 20. Такое случается, когда ученик забывает разрядное значение цифры. Проверь себя: отдельно вычисли произведение на десятки с нулём, а затем сравни с записью в столбике.
Складывать цифры множителя вместо умножения на разрядные слагаемые нельзя: из 24 не получается действие «умножить на 2 и прибавить 4». Обычно так ошибаются, потому что видят в числе две цифры, но не учитывают, что 2 означает два десятка. Запиши разложение, например 24 = 20 + 4, и проверь, что каждое слагаемое умножено на первый множитель.
Пропуск нуля в записи второго неполного произведения может сдвинуть его цифры в неверные разряды. Эту ошибку допускают, если одновременно не ставят ноль в конце и не выполняют сдвиг влево. Проверь, что второе произведение действительно отвечает умножению на десятки: например, при умножении на 20 оно должно оканчиваться на ноль.
При сложении неполных произведений можно неверно перенести единицы в следующий разряд или записать цифры не друг под другом. Это происходит, когда сложение выполняют слишком быстро и не следят за разрядами. Сверь столбцы единиц, десятков и сотен, а затем повтори сложение отдельно или оцени итог.
Для умножения на двузначное число нужны таблица умножения, письменное умножение на однозначное число и понимание разрядного состава чисел. Распределительное свойство объясняет, почему можно умножать на части множителя и складывать результаты. Освоенный алгоритм пригодится при умножении многозначных чисел и в задачах на стоимость, расстояние и количество: например, когда нужно найти цену нескольких одинаковых покупок или путь за несколько часов.
Почему двузначное число при умножении раскладывают на десятки и единицы?
Так можно умножить число отдельно на десятки и на единицы, а затем сложить результаты. Это следует из распределительного свойства: a · (b + c) = a · b + a · c.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе неполное произведение получают умножением на десятки, а не на единицы. Поэтому его цифра единиц фактически занимает разряд десятков: запись сдвигают на один разряд влево.
Нужно ли писать ноль в конце второго неполного произведения?
Можно поставить ноль в разряде единиц, чтобы явно показать умножение на десятки. При записи столбиком этот ноль часто не пишут, а вместо этого начинают запись со сдвигом влево.
Как умножать, если в одном из чисел есть ноль?
Выполняй умножение по разрядам и сохраняй место каждого разряда. Ноль в числе не пропускай при чтении записи: например, в 508 сначала умножают единицы, затем десятки (их здесь нет), потом сотни.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Оцени примерный размер ответа, округлив множители до удобных чисел. Можно также проверить сложение неполных произведений или повторить вычисление другим способом.
Урок 25.Умножение на двузначное число
