Урок 28.Задаем на движение в одном направлении

Определения и обозначения

Задача на движение в одном направлении — задача, в которой два объекта движутся по одной дороге в одну сторону. Например, один велосипедист может ехать впереди другого, а автомобиль — догонять автобус. Чтобы решить задачу, нужно проследить, как меняется расстояние между ними. Поэтому сначала удобно определить направление движения и положение каждого объекта.

Скорость — расстояние, которое объект проходит за единицу времени; её обозначают буквой v. Например, скорость 12 км/ч означает, что за один час объект проходит 12 километров, если движется равномерно. Скорость помогает связать время с пройденным путём: s = vt, где s — путь, а t — время. Эта формула нужна, чтобы узнать путь за заданное время или найти время движения.

Скорость сближения показывает, на сколько изменяется расстояние между объектами за единицу времени, когда один движется вслед за другим. Если расстояние сокращается на 3 км за каждый час, скорость сближения равна 3 км/ч. Её находят по разности скоростей, когда оба объекта движутся в одну сторону. Эта величина помогает определить, сколько времени потребуется для догоняния.

Скорость удаления показывает, на сколько увеличивается расстояние между объектами за единицу времени. Например, если движущийся впереди объект быстрее, промежуток между ним и следующим за ним растёт. Скорость удаления в этом случае равна разности скоростей. Она нужна, чтобы выяснить, каким станет расстояние через заданное время.

Как это устроено

Сначала изобразите дорогу одной прямой, отметьте на ней объекты и проведите стрелки в сторону их движения. Между объектами укажите начальное расстояние, если оно известно. Такая схема показывает, кто впереди и кто движется быстрее, поэтому проще заметить, уменьшается промежуток или растёт. Если один объект стартовал позже, отметьте и момент его старта: к этому времени другой уже мог отъехать от начального пункта.

При движении навстречу друг другу скорости складывают: за один и тот же час каждый объект проходит часть расстояния навстречу другому. При движении в одну сторону пути направлены одинаково, поэтому из пути более быстрого объекта вычитают путь более медленного. Например, за час один объект проходит на 5 км больше другого, и расстояние между ними меняется именно на 5 км. Поэтому при догонянии скорость сближения равна большей скорости минус меньшая.

Формула пути s = vt следует из смысла скорости: за каждый час объект проходит v единиц расстояния, а за t часов — t таких отрезков. Если расстояние между объектами уменьшается, из начального расстояния вычитают разность пройденных путей: d = d₀ − vсблt. Если расстояние растёт, эту разность прибавляют: d = d₀ + vудалt. Здесь d₀ — начальное расстояние, а d — расстояние через время t.

Неизвестной удобно выбрать величину, о которой спрашивают: время, скорость или расстояние. Затем запишите известные данные и выразите путь каждого объекта через скорость и время; если один начал движение позже, отдельно найдите промежуток, который успел образоваться к его старту. Уравнение составляют из связи между начальным расстоянием, изменением расстояния и тем, что требуется найти. Краткая запись или таблица со столбцами «скорость», «время», «путь» помогает не перепутать величины.

В конце проверьте единицы: при скорости в километрах в час время должно быть выражено в часах, а путь получится в километрах. При сближении рассчитанное расстояние должно быть меньше начального, а при удалении — больше. Найденное время должно быть положительным и соответствовать ситуации: более медленный объект не догонит более быстрый, если между ними уже есть промежуток. Такая проверка помогает обнаружить ошибку даже при верных вычислениях.

На графике по горизонтали отложено время, а по вертикали — расстояние от начального пункта. Наклон каждой линии показывает скорость: чем линия круче, тем быстрее движется объект. Объект B стартует впереди, но движется медленнее A, поэтому линии пересекаются через 6 часов — в этот момент координаты объектов одинаковы, то есть они встретились.

Величины и правила в задачах на движение в одном направлении

В таблице выберите строку с искомой величиной и используйте формулу, подходящую к условию. Обозначения vбыстр и vмедл относятся к скоростям более быстрого и более медленного объектов, а d₀ — к начальному расстоянию. Перед вычислениями проверьте, что единицы времени и скорости согласованы.

Разбор задач

Два велосипедиста выехали одновременно

Из одного пункта одновременно выехали два велосипедиста в одном направлении. Скорость первого — 12 км/ч, второго — 15 км/ч. Нужно найти расстояние между ними через 4 часа. Поскольку они стартовали вместе из одного места, начальное расстояние равно нулю; быстрее едет второй велосипедист, поэтому промежуток будет увеличиваться.

1. Найдём скорость удаления: 15 − 12 = 3 км/ч. За каждый час второй велосипедист уезжает от первого на 3 км.
2. Умножим скорость удаления на время: 3 · 4 = 12 км. Это и есть расстояние между ними через четыре часа.
3. Проверим направление изменения: расстояние начиналось с нуля и росло, значит результат должен быть положительным.

Ответ: через 4 часа велосипедистов будут разделять 12 км.

Автомобиль догоняет автобус

Автобус выехал из города со скоростью 60 км/ч, а через 2 часа за ним отправился автомобиль со скоростью 90 км/ч. Требуется узнать, через сколько часов после старта автомобиля он догонит автобус. К началу автомобильного пути автобус уже уехал вперёд, поэтому нельзя считать, что начальное расстояние равно нулю.

1. Найдём расстояние, которое автобус прошёл за первые 2 часа: 60 · 2 = 120 км. Это начальный промежуток между автобусом и автомобилем.
2. Определим скорость сближения: 90 − 60 = 30 км/ч. За каждый час автомобиль сокращает промежуток на 30 км.
3. Разделим начальное расстояние на скорость сближения: 120 : 30 = 4 ч. За это время промежуток уменьшится до нуля.
4. Проверим единицы: километры делим на километры в час, получаем часы. Автомобиль быстрее автобуса, поэтому догоняние возможно.

Ответ: автомобиль догонит автобус через 4 часа после своего выезда.

Расстояние между поездами уменьшается

Два поезда движутся в одном направлении, и сначала между ними 180 км. Поезд впереди едет со скоростью 70 км/ч, следующий за ним — 85 км/ч. Нужно определить, через сколько часов расстояние станет 120 км. Поскольку второй поезд быстрее, расстояние сокращается; оно должно уменьшиться на 60 км.

1. Найдём скорость сближения: 85 − 70 = 15 км/ч. Это скорость изменения расстояния, а не скорость одного из поездов.
2. Определим, на сколько километров должен уменьшиться промежуток: 180 − 120 = 60 км.
3. Найдём время: 60 : 15 = 4 ч. За четыре часа поезда сблизятся на нужные 60 км.
4. Проверим результат: 15 км/ч · 4 ч = 60 км, а 180 − 60 = 120 км. Значит, расстояние и время соответствуют условию.

Ответ: через 4 часа расстояние между поездами станет 120 км.

Типичные ошибки

При движении одного объекта за другим иногда складывают скорости, как при движении навстречу. Это происходит, если не учитывать, что оба объекта едут в одну сторону: их пути не сокращают расстояние одновременно в противоположных направлениях. Для самопроверки представьте, сколько каждый проедет за час, и найдите разность этих путей. Если объект догоняет другой, скорость сближения должна быть меньше скорости каждого из них.

Если один объект начал движение позже, ошибочно считают, что расстояние между ними в момент его старта равно нулю. За это время первый объект уже мог проехать некоторый путь, поэтому промежуток надо найти отдельно. Умножьте скорость первого объекта на время его движения до второго старта. Проверьте ответ по условию: если объекты стартовали из одного пункта не одновременно, нулевое начальное расстояние обычно неверно.

Скорость сближения иногда путают со скоростью одного из участников и используют её в формуле времени. Тогда расчёт не показывает, как быстро уменьшается промежуток, а ответ может оказаться слишком большим или маленьким. Сначала вычтите скорости и подпишите единицы полученной разности. Убедитесь, что время находите делением изменения расстояния на скорость сближения, а не на скорость отдельного объекта.

Ещё одна ошибка — смешивать километры в час с минутами или метры с километрами. Число может быть вычислено правильно, но его смысл окажется неверным из-за несогласованных единиц. До вычислений переведите величины к общей системе: например, минуты — в часы, если скорость дана в км/ч. После расчёта проверьте, что единица ответа подходит искомой величине.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны формулы пути, скорости и времени, а также умение переводить единицы измерения. Эти знания применяются и в задачах на встречное движение, движение по реке и догоняние, где важно определить, как меняется расстояние. Сюжет задачи удобно представить схемой, таблицей или графиком зависимости расстояния от времени. По графику можно сравнить скорости и увидеть момент встречи объектов.

Что запомнить

• Путь находят умножением скорости на время.
• При движении одного объекта за другим скорость сближения равна разности скоростей.
• Скорость более быстрого объекта должна быть больше скорости объекта впереди, если требуется догоняние.
• Расстояние при сближении уменьшается, а при удалении увеличивается.
• Начальное расстояние нужно учитывать отдельно, особенно если объекты начали движение не одновременно.
• Все величины в вычислениях должны быть выражены в согласованных единицах.
• Ответ необходимо проверить по условию и направлению изменения расстояния.