Урок 26.Умножений двузначного числа на круглые десятки

Определения и обозначения

Круглые десятки — числа, оканчивающиеся одним нулём: 10, 20, 30 и так далее. Ноль показывает, что в числе нет отдельных единиц, а есть целое количество десятков. Это название помогает сразу заметить множитель 10 и выбрать удобный способ вычисления.

Двузначное число — число, в записи которого есть разряд десятков и разряд единиц. Например, в числе 47 цифра 4 обозначает четыре десятка, а цифра 7 — семь единиц. Знание разрядов помогает понять, из каких частей состоит число, и не перепутать значение цифр.

Разрядный состав числа — представление двузначного числа в виде суммы десятков и единиц. Например, 36 = 30 + 6: число 36 состоит из трёх десятков и шести единиц. Такое представление нужно, чтобы при умножении можно было отдельно вычислить произведения разрядных частей.

Умножение на круглые десятки — умножение на число, которое можно представить как произведение числа десятков на 10. Например, 50 = 5 · 10, поэтому умножение на 50 можно выполнить как умножение на 5 с последующим учётом множителя 10. Это позволяет заменить менее привычное действие более простыми вычислениями.

Как это устроено

Круглый десяток удобно представить произведением числа десятков на 10: 20 = 2 · 10, 50 = 5 · 10. Так мы видим, что в числе, например, 50 содержится пять десятков, а каждый десяток равен десяти единицам. Поэтому при умножении на 50 можно сначала выполнить умножение на 5, а затем учесть ещё и умножение на 10.

Чтобы умножить двузначное число на круглый десяток, сначала умножают его на число десятков, а потом к произведению приписывают один ноль. Причина в том, что круглый десяток состоит из числа десятков и множителя 10: например, 40 — это 4 · 10. При умножении на 4 находят основное произведение, а множитель 10 увеличивает его в десять раз.

Этот порядок объясняет сочетательное свойство умножения: a · (b · 10) = (a · b) · 10. Оно позволяет сгруппировать множители так, чтобы сначала выполнить более удобное действие. Например, 32 · 40 = 32 · (4 · 10) = (32 · 4) · 10 = 128 · 10 = 1280. Множители не меняются, меняется только порядок, в котором их объединяют.

Можно умножать и поразрядно, если представить двузначное число суммой десятков и единиц. Например, 32 = 30 + 2, поэтому 32 · 40 = (30 + 2) · 40 = 30 · 40 + 2 · 40. Получаются произведения 1200 и 80, а их сумма равна 1280. Так работает распределительное свойство: общий множитель умножают на каждое слагаемое отдельно.

Проверка помогает заметить ошибку в вычислении или записи. Можно разделить результат на один из множителей и убедиться, что получится другой множитель, либо прикинуть примерную величину. Например, 32 · 40 должно быть больше 30 · 40 = 1200, а ответ 1280 этому условию соответствует. Также в ответе учитывают, что умножение на 10 увеличивает число в десять раз.

Способы умножения двузначного числа на круглые десятки

Сначала определите, на какой круглый десяток умножаете, и представьте его как число десятков, умноженное на 10. Выберите общий способ или разложение двузначного числа на десятки и единицы, если так удобнее считать. После вычисления проверьте результат делением или оценкой его величины.

Разбор задач

Вычислить 24 · 10

Множитель 10 — самый простой круглый десяток: его можно записать как 1 · 10. Значит, сначала число 24 умножается на 1, а затем результат — на 10. Умножение на 1 не меняет число, а умножение на 10 увеличивает его в десять раз.

1. Представим множитель: 10 = 1 · 10.
2. Выполним основное умножение: 24 · 1 = 24.
3. Учтём множитель 10: 24 · 10 = 240.

Ответ: 240.

Вычислить 32 · 40

В числе 40 четыре десятка, поэтому 40 = 4 · 10. Чтобы не умножать сразу на большой множитель, сначала найдём, чему равно 32 · 4. Затем умножим это промежуточное произведение на 10, то есть придадим ему нужный разряд десятков.

1. Представим круглый десяток: 40 = 4 · 10.
2. Умножим двузначное число на число десятков: 32 · 4 = 128.
3. Учтём множитель 10: 128 · 10 = 1280.
4. Проверим оценкой: 32 немного больше 30, значит, произведение должно быть немного больше 30 · 40 = 1200.

Ответ: 1280.

Задача о коробках с карандашами

В одной коробке 24 карандаша, а коробок 30. Нужно узнать общее количество одинаковых предметов в нескольких равных группах, поэтому используем умножение: число карандашей в одной коробке умножаем на количество коробок. Получаем действие 24 · 30, которое решается тем же способом, что и предыдущий пример.

1. Запишем действие по условию: 24 · 30.
2. Представим круглый десяток: 30 = 3 · 10.
3. Выполним умножение на число десятков: 24 · 3 = 72.
4. Учтём множитель 10: 72 · 10 = 720 карандашей.

Ответ: всего 720 карандашей.

Типичные ошибки

При умножении на круглый десяток можно забыть ноль или приписать его дважды. Ноль забывают, если выполняют только умножение на число десятков; дважды приписывают, если ошибочно учитывают множитель 10 два раза. Запишите разложение, например 30 = 3 · 10, и проверьте, что множитель 10 присутствует ровно один раз.

Иногда число умножают только на число десятков и объявляют промежуточный результат ответом. Это происходит, когда забывают, что 40 — не просто 4, а 4 · 10. Сравните пример с оценкой: 32 · 40 должно быть намного больше, чем 32 · 4. Если получился ответ 128 вместо 1280, разряд десятков не учтён.

Ошибку можно допустить и в промежуточном умножении двузначного числа на однозначное. Например, неверно вычислить 32 · 4, а затем правильно приписать ноль — итог всё равно окажется неправильным. Перед завершением пересчитайте произведение по таблице умножения или разложите число: 32 · 4 = 30 · 4 + 2 · 4 = 128.

Если множители или произведение записаны не по разрядам, в ответе может оказаться лишняя или недостающая цифра. Такая ошибка появляется при неаккуратной записи промежуточного результата и нуля. Проверьте, что сначала записано верное произведение на число десятков, а затем добавлен ровно один ноль; дополнительно оцените размер ответа.

Связь с другими темами

Для вычислений нужны таблица умножения, умножение на 10 и понимание разрядного состава двузначных чисел. Эти знания позволяют правильно найти промежуточное произведение и определить, как учесть ноль. Если разложить число на десятки и единицы, вычисление можно проверить распределительным свойством умножения.

Приём пригодится в письменном умножении многозначных чисел и в задачах, где повторяется одинаковое количество предметов. Например, так можно найти общую стоимость одинаковых товаров, количество предметов в наборах или массу нескольких одинаковых грузов. Сочетательное свойство помогает удобно группировать множители, а распределительное — считать по разрядам.

Что запомнить

• Круглые десятки оканчиваются нулём.
• Круглый десяток можно представить как произведение числа десятков и 10.
• Чтобы умножить двузначное число на круглые десятки, сначала умножают на число десятков.
• После умножения на число десятков к результату приписывают один ноль.
• Ноль приписывают только после выполнения основного умножения.
• Результат полезно проверять обратным действием или оценкой количества цифр.