"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Шар — пространственное тело, похожее на мяч: его точки находятся не дальше заданного расстояния от центра. Это расстояние называют радиусом, а отрезок от центра до точки поверхности тоже является радиусом. Шар отличается от плоского круга: у него есть объём, а рисунок на листе только условно показывает его форму. Знание центра и радиуса помогает описывать шар и решать задачи о расстояниях внутри него и на поверхности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шар — геометрическое тело, все точки которого находятся от его центра на расстоянии, не большем заданного радиуса. Иначе говоря, шар включает точки внутри границы и точки самой поверхности. Это определение помогает отличать шар от одной лишь его поверхности и понимать, какие точки входят в тело.
Центр шара — точка, от которой измеряют расстояния до точек шара. Его обычно обозначают заглавной буквой, например O. Центр нужен как точка отсчёта: сравнивая расстояние до него с радиусом, можно определить, находится ли точка внутри шара, на поверхности или вне шара.
Радиус шара — отрезок, который соединяет центр с любой точкой поверхности; радиусом также называют длину этого отрезка. Если центр обозначен O, а точка поверхности — A, отрезок OA является радиусом, а его длину записывают OA. Радиус задаёт расстояние от центра до границы шара, поэтому все радиусы одного шара имеют одинаковую длину.
Мяч, апельсин или бусина напоминают шар, потому что занимают место в пространстве и имеют объём. Круг, нарисованный на бумаге, плоский: у него нет толщины, и его точки расположены в одной плоскости. Поэтому шар относят к пространственным телам, а круг — к плоским фигурам. Различие важно, когда нужно описать не контур предмета, а всё тело целиком.
На листе бумаги нельзя показать все измерения объёмного тела так, как они существуют в пространстве. Поэтому шар изображают условным кругом, а дуга или штриховая линия помогает представить его поверхность и её видимую либо скрытую часть. Такая условность нужна, чтобы рисунок оставался плоским, но напоминал объёмное тело. По одному только контуру нельзя заключить, что сам шар является плоской фигурой.
Рисунок шара передаёт форму, но не является точным изображением каждой его точки. На бумаге можно показать лишь часть сведений о теле, тогда как точек шара бесконечно много и они расположены в пространстве. Дуга помогает вообразить поверхность, уходящую за видимую часть рисунка. Поэтому рисунок служит схемой для рассуждений, а не уменьшенной копией шара со всеми его точками.
Центр на схеме обычно отмечают точкой и подписывают буквой, например O. Радиус проводят от этой точки к поверхности, потому что именно так отрезок соединяет центр с границей шара. Если провести отрезок только внутри тела и закончить его до поверхности, он не будет радиусом. Конечная точка на поверхности — обязательный признак такого отрезка.
Представь несколько отрезков, проведённых из центра к разным точкам поверхности. Каждый из них является радиусом, поскольку расстояние от центра до поверхности задано одним и тем же числом. Направления отрезков могут быть разными, но их длины совпадают. Это свойство позволяет находить неизвестную длину радиуса, если известна длина другого радиуса того же шара.
| Понятие | Что означает | Как обозначают или изображают |
|---|---|---|
| Шар | Пространственное тело, точки которого находятся от центра не дальше радиуса. | На плоскости показывают условным рисунком, например кругом с дугой. |
| Центр шара | Точка, от которой измеряют расстояния до точек шара. | Отмечают точкой и обычно называют буквой O. |
| Радиус шара | Отрезок от центра до точки поверхности; его длина равна расстоянию от центра до поверхности. | Обозначают концами отрезка, например OA, и проводят от центра к поверхности. |
Сначала найди, о каком объекте говорится: о теле, его центре или отрезке до поверхности. Затем проверь обозначение и положение концов отрезка на схеме. Такая проверка не даст перепутать радиус с произвольным отрезком внутри шара.
Задача 1. На рисунке изображён шар с центром O. Назовите его центр и укажите отрезок, который является радиусом. Нужно не угадывать длину, а проверить положение концов отрезка: один должен совпасть с центром, другой — лежать на поверхности.
Ответ: центр — O; радиус — OA, если точка A лежит на поверхности.
Задача 2. Радиус шара равен 4 см. Каково расстояние от центра шара до любой точки его поверхности? Здесь не требуется находить новое число по рисунку: расстояние до поверхности как раз определяется длиной радиуса.
Ответ: 4 см.
Задача 3. Точки A и B лежат на поверхности шара с центром O. Известно, что OA = 6 см. Найдите OB и объясните ответ. Обе точки находятся на поверхности одного и того же шара, поэтому отрезки от центра к ним имеют одинаковый статус.
Ответ: OB = 6 см.
Ошибка: считать шар только его поверхностью. Так бывает, потому что на рисунке заметнее всего контур тела. Но шар включает и точки внутри границы, а поверхность — только его граница. Проверь себя: если речь идёт о теле целиком, учитывай внутренние точки; если только о границе — говори о поверхности.
Ошибка: называть радиусом любой отрезок внутри шара. Отрезок может находиться внутри тела, но не соединять центр с поверхностью, поэтому самого расположения внутри недостаточно. Ошибку допускают, ориентируясь на вид отрезка, а не на его концы. Проверь, начинается ли отрезок в центре и заканчивается ли на поверхности.
Ошибка: считать, что радиусы одного шара могут иметь разные длины. Отрезки направлены к разным точкам, и это может создать впечатление, что их длины различаются. Однако расстояние от центра до поверхности постоянно. Проверь, что оба отрезка идут от одного центра к точкам поверхности одного шара: тогда их длины равны.
Ошибка: принимать круг на рисунке за сам шар. Круг — плоская фигура, а изображение лишь условно показывает пространственное тело. Такая путаница возникает, когда забывают, что рисунок сделан на плоскости. Проверь себя вопросом: есть ли у рассматриваемого объекта объём? У шара есть, у круга — нет.
Для работы с шаром нужны знакомые понятия: точка, отрезок, длина отрезка и расстояние между точками. Именно расстояние от центра до поверхности выражает длину радиуса, поэтому важно уметь сравнивать и измерять отрезки. Центр и радиус пригодятся при изучении круга и окружности: эти понятия помогают описывать положение точек относительно центра. Они также используются в задачах о геометрических телах, где нужно находить расстояния и разбираться в пространственных фигурах.
Чем шар отличается от круга?
Шар — пространственное тело, которое имеет объём. Круг — плоская фигура, расположенная на плоскости. На рисунке круг может условно передавать форму шара.
Чем шар отличается от его поверхности?
Шар включает все точки внутри него и на его границе. Поверхность — только граница шара: её точки находятся от центра на расстоянии, равном радиусу.
Как на рисунке найти центр шара?
Найди обозначенную точку, от которой проведены отрезки к поверхности шара. Обычно центр отмечают буквой, например O. Если обозначений нет, по условному рисунку точно определить центр может быть нельзя.
Как определить, является ли отрезок радиусом шара?
Проверь, что один конец отрезка находится в центре, а другой — на поверхности шара. Если оба условия выполнены, отрезок является радиусом.
Почему все радиусы одного шара равны?
Все радиусы соединяют один и тот же центр с точками поверхности. По определению шара расстояние от центра до каждой точки поверхности постоянно, поэтому длины радиусов равны.
Урок 4.Шар. Знакомство с шаром, его изображением. Центр и радиус шара
