Урок 6.Нахождение числа по его дроби

Определения и обозначения

Дробь числа — часть числа, которую находят умножением числа на эту дробь. Например, чтобы найти 3/5 от 20, нужно вычислить 20 · 3/5 = 12. Такое действие применяют, когда целое известно, а требуется узнать его часть. Числитель показывает, сколько равных долей берут, а знаменатель — на сколько равных долей разделено целое.

Число по его дроби — исходное число, если известна его заданная дробная часть. Например, если 3/5 числа равны 12, нужно восстановить всё число, а не искать ещё одну его часть. Для этого известное значение делят на дробь 3/5. Понятие помогает выбирать действие в задачах, где целое неизвестно, но его часть дана.

Обратная задача — задача, в которой по известной дробной части находят целое число, от которого эту часть взяли. Она противоположна задаче на нахождение дроби от числа: сначала по целому получают часть, а теперь по части восстанавливают целое. Например, если известна доля класса, отправившаяся на экскурсию, можно вычислить число учеников во всём классе. Отличить такую задачу помогает вопрос: ищут часть или исходное целое?

Как это устроено

Пусть известно, что a/b числа x равно c. Дробь a/b означает, что целое разделили на b равных частей и взяли a таких частей. Поэтому значение одной части можно получить, разделив c на a: в известном значении содержатся именно a равных долей. Если сразу умножить c на дробь, получится не целое, а ещё меньшая часть.

Когда значение одной доли найдено, целое восстанавливают умножением на b. Знаменатель показывает, сколько таких равных долей составляет весь предмет или число. Например, если известны три пятых, то после нахождения одной пятой её нужно взять пять раз. Так способ через одну долю объясняет, почему сначала делят на числитель, а затем умножают на знаменатель.

Тот же ход можно записать уравнением: (a/b) · x = c, где x — неизвестное число. Чтобы оставить x, нужно разделить обе части равенства на a/b, поэтому x = c : (a/b). Это равенство объединяет действия в одну формулу и подходит для любой обыкновенной дроби, если вычисления выполнены правильно. Оно также показывает, что искомое число должно быть больше известной части, когда дробь меньше единицы.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную ей дробь. Обратная к a/b дробь — b/a, потому что при умножении a/b на b/a получается 1. Поэтому c : (a/b) = c · (b/a); это та же операция, что и последовательное нахождение одной доли и всего целого. После вычисления результат проверяют: умножают его на заданную дробь и сравнивают с c.

Как найти дробь числа и число по его дроби

Пользуйся таблицей, чтобы определить, какое действие соответствует вопросу задачи. Сначала выясни, известно ли целое или его дробная часть: от этого зависит направление вычислений. В последней строке показан способ проверить найденное целое.

Разбор задач

Задача 1. Найдите число, если 3/5 этого числа равны 12. Известны три равные доли, а требуется найти пять таких долей — всё число. Поэтому удобнее начать с одной пятой: значение трёх долей разделить на 3. Затем результат нужно взять пять раз.

1. Найдём 1/5 числа: 12 : 3 = 4.
2. В целом пять таких частей: 4 · 5 = 20.
3. Проверим: 20 · 3/5 = 12.

Ответ: 20. Проверка подтверждает, что от найденного числа заданная дробь действительно равна 12. Способ через одну долю особенно нагляден, когда числитель и знаменатель дроби задают целое число частей.

Задача 2. Найдите число, если 7/8 этого числа равны 21. Здесь можно применить правило напрямую: известное значение нужно разделить на дробь 7/8. При делении на дробь умножаем на обратную, то есть на 8/7. После вычислений проверим результат умножением на 7/8.

1. Запишем действие: 21 : (7/8).
2. Заменим деление умножением на обратную дробь: 21 · 8/7.
3. Вычислим: 21 : 7 · 8 = 3 · 8 = 24.
4. Проверим: 24 · 7/8 = 21.

Ответ: 24. Сокращение 21 на 7 перед умножением делает вычисление проще. При записи важно обратить именно делитель 7/8, иначе получится неверное действие.

Задача 3. На экскурсию отправились 2/3 класса, это 1 1/5 учащихся. Сколько учащихся в классе? Сначала смешанное число 1 1/5 переведём в неправильную дробь: 6/5. Известное значение делим на 2/3, потому что оно составляет две трети всего класса. В ответе ожидается целое число учеников, что также поможет оценить результат.

1. Переведём смешанное число: 1 1/5 = 6/5.
2. Найдём всё число: 6/5 : (2/3) = 6/5 · 3/2 = 18/10 = 9/5.
3. Проверим вычисление: 9/5 · 2/3 = 18/15 = 6/5.

Ответ: 9/5 учащегося. Однако такой результат не может быть числом учеников, поэтому условие задачи в указанном виде противоречиво: 1 1/5 учащихся не может составлять 2/3 класса. Проверка подтверждает вычисление по записи, но для реальной задачи нужны подходящие исходные данные.

Типичные ошибки

• Иногда известное значение умножают на заданную дробь. Так находят дробь от уже известного числа, а не исходное целое, поэтому результат обычно становится ещё меньше. Ошибка возникает, если ориентироваться только на слово «дробь» и не прочитать, что именно требуется найти. Проверь себя вопросом: известно целое или известна его часть?

• Деление на знаменатель с последующим умножением на числитель меняет роли чисел местами. Числитель показывает, сколько долей известно, поэтому на него делят, чтобы получить одну долю; знаменатель показывает число долей в целом. Такой порядок путают, если воспринимать дробь только как запись из двух чисел. Проверь рассуждение по примеру: из трёх долей сначала должно получиться значение одной доли.

• При делении на дробь иногда не переворачивают делитель. Тогда вместо c · b/a записывают c · a/b, хотя эти действия в общем случае дают разные результаты. Ошибка часто появляется из-за того, что правило обратной дроби забывают применить именно к делителю. Проверь запись: дробь, на которую делят, должна поменять местами числитель и знаменатель.

• Ответ оставляют без проверки, поэтому вычислительная ошибка может остаться незамеченной. Например, неверное умножение после деления на дробь даст число, не соответствующее условию. Проверь себя, умножив найденное число на заданную дробь. Если не получилось известное значение, пересмотри вычисления и выбранное действие.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно понимать смысл числителя и знаменателя и уметь находить дробь от числа умножением. Также пригодятся деление и умножение обыкновенных дробей, особенно правило деления на дробь. Этот способ связывает вычисления с обратными задачами: по части величины восстанавливают целое. Он встречается в задачах о долях класса, расстояния, массы и других величин.

Что запомнить

• Чтобы найти число по его дроби, известное значение делят на эту дробь.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Если a/b числа x равны c, то x = c · b/a.
• Можно сначала найти одну долю: известное значение разделить на числитель.
• Целое находят умножением значения одной доли на знаменатель.
• Проверка: найденное число, умноженное на заданную дробь, должно дать известное значение.