Урок 7.Деление многозначного числа на круглые десятки, сотни и тысячи

Определения и обозначения

Круглые десятки — числа, оканчивающиеся одним нулём, например 60; круглые сотни имеют два нуля, например 400, а круглые тысячи — три, например 7000. Это видно из записи таких чисел как произведений: 60 = 6 · 10, 400 = 4 · 100, 7000 = 7 · 1000. Такое представление помогает понять, сколько разрядных единиц содержится в числе, и облегчает вычисления.

Деление на круглое число — это деление, при котором делитель можно представить как произведение числа без конечных нулей на 10, 100, 1000 и так далее. Например, 90 = 9 · 10, поэтому при подходящих условиях деление на 90 можно свести к более простому делению на 9. Это представление помогает выбрать удобный способ вычисления, а не делить наугад.

Неполное частное — целая часть результата деления с остатком: например, в записи 384 : 60 = 6 (ост. 24) неполное частное равно 6. Остаток показывает, сколько единиц делимого осталось после выделения целого числа групп. Он всегда должен быть меньше делителя, иначе можно выделить ещё одну группу и частное не будет наибольшим возможным.

Как это устроено

Круглое число удобно представить произведением, потому что его нули обозначают умножение на разрядную единицу. Так, 60 — это шесть десятков, или 6 · 10, а 400 — четыре сотни, или 4 · 100. При делении такое представление показывает, какая часть делителя отвечает за число групп, а какая — за разряд. Например, запись 400 = 4 · 100 помогает увидеть, что делитель содержит четыре сотни.

Если делимое и делитель оканчиваются нулями, можно разделить оба числа на одинаковую степень десяти: частное останется прежним. Причина в том, что деление обоих чисел на одно и то же ненулевое число не меняет их отношение. Поэтому 5400 : 90 превращается в 540 : 9: каждое число разделили на 10, а частное равно 60. Так вычисление становится проще, хотя исходное значение деления не меняется.

Когда нулей в числах разное количество, убирают только одинаковое количество нулей с конца обоих чисел. Например, в делимом может быть больше нулей, чем в делителе: после сокращения в нём останутся нули, которые нельзя убрать без соответствующего нуля у делителя. Если делитель содержит нули, а делимое не оканчивается ими, сокращать нечего: представь делитель произведением и найди целое частное обычным подбором или делением с остатком. Так сохраняется правильное значение частного.

Если деление не выполняется нацело, нужно найти наибольшее целое частное, при котором произведение делителя на частное не больше делимого. Затем из делимого вычитают это произведение и получают остаток. Остаток записывают в тех же единицах, что и исходное делимое, потому что сокращать нули можно лишь при переходе к вычислению частного, а остаток относится к исходному числу. Например, в 384 : 60 = 6 (ост. 24) остаток равен 24 единицам, а не числу десятков.

Проверка деления с остатком восстанавливает исходное делимое: сначала умножают делитель на неполное частное, затем прибавляют остаток. Для примера 384 : 60 = 6 (ост. 24) получаем 60 · 6 + 24 = 384. Одного равенства недостаточно: отдельно проверь, что остаток меньше делителя. Иначе частное можно было увеличить, а остаток уменьшить.

Деление многозначного числа на круглое число

Используй таблицу как памятку: сначала определи, сколько нулей есть у делимого и делителя, затем выбери подходящий способ. После вычисления проверь умножением; если делил с остатком, дополнительно сравни остаток с делителем.

Разбор задач

Вычисли 6300 : 70. В обоих числах есть конечные нули, поэтому прежде чем делить, нужно найти их общее количество. Удалить можно только одинаковое количество нулей, иначе отношение чисел изменится. После сокращения получится знакомое деление.

1. В числе 6300 два нуля, а в 70 — один; сокращаем по одному нулю в каждом числе.
2. Получаем 630 : 7 = 90.
3. Проверяем: 90 · 70 = 6300.

Ответ: 90.

Вычисли 48000 : 600. Здесь в обоих числах можно убрать два конечных нуля. Это равносильно делению и делимого, и делителя на 100, поэтому частное сохраняется. После сокращения вычисление можно выполнить без круглых чисел.

1. Сокращаем по два нуля: 48000 : 600 = 480 : 6.
2. Делим: 480 : 6 = 80.
3. Проверяем по исходным числам: 80 · 600 = 48000.

Ответ: 80.

Раздели 7350 на 400 с остатком и проверь результат. Сначала подберём наибольшее целое число групп по 400, которое помещается в 7350. Четыреста на 18 равно 7200, а на 19 — уже 7600, то есть больше делимого. Значит, 18 — неполное частное, а остаток найдём вычитанием.

1. Находим подходящее частное: 400 · 18 = 7200, но 400 · 19 = 7600 > 7350.
2. Вычитаем произведение из делимого: 7350 − 7200 = 150.
3. Получаем 7350 : 400 = 18 (ост. 150). Проверяем: 400 · 18 + 150 = 7350, причём 150 < 400.

Ответ: 18 (ост. 150).

Типичные ошибки

Ошибка — сокращать нули только в делителе. Так меняют делитель, но оставляют делимое прежним, поэтому частное становится другим; обычно так происходит, когда ученик стремится сделать делитель удобнее и забывает о свойстве деления. Проверяй, что убираешь одно и то же количество нулей из обоих чисел. Подставь полученное частное в проверку с исходным делителем.

Нельзя убирать больше нулей из одного числа, чем из другого. Например, если в делителе только один конечный ноль, убрать два нуля у делимого не получится без изменения частного. Такая ошибка возникает, когда считают нули в числах отдельно, а не сравнивают их количество. Перед сокращением найди, у какого числа нулей меньше, и сократи ровно столько в каждом.

Остаток нельзя записывать, не проверив его величину. Если остаток равен делителю или больше него, значит, в частное можно добавить ещё одну группу и частное не является неполным. Сравни остаток с делителем после вычитания. Например, остаток 24 при делителе 60 подходит, потому что 24 < 60.

При проверке деления с остатком используют исходный делитель, умножают его на неполное частное и прибавляют остаток. Если вместо исходного делителя взять число после сокращения или забыть прибавить остаток, проверка не восстановит делимое. Это часто происходит из-за того, что проверяют только промежуточные вычисления. Запиши проверку целиком: делитель · частное + остаток = делимое.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уверенно делить многозначные числа на однозначные и понимать разрядный состав числа. Тогда проще увидеть, что круглые десятки, сотни и тысячи состоят из десятков, сотен и тысяч. Это помогает правильно сокращать нули и оценивать величину ответа.

Способ опирается на свойства умножения и деления, прежде всего на сохранение частного при делении делимого и делителя на одно и то же число. Поэтому перед вычислением важно следить, чтобы преобразование затрагивало оба числа одинаково. А проверка связывает деление с обратным действием — умножением.

Эти приёмы пригодятся при письменном делении и решении задач с большими числами. Сокращение нулей делает вычисления короче, а деление с остатком помогает работать с группами, когда целое число групп не получается. Проверка позволяет обнаружить ошибку до того, как ответ будет использован дальше.

Что запомнить

• Круглый делитель можно представить произведением числа без конечных нулей на разрядную единицу.
• Одинаковое количество конечных нулей в делимом и делителе можно отбросить.
• Нельзя сокращать нули только в одном из двух чисел.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делитель · частное + остаток = делимое.