Урок 1.Четные и нечетные числа

Определения и обозначения

Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка; его записывают в виде 2k, где k — целое число. Например, 14 = 2 · 7, поэтому 14 чётное. Такая запись удобна, когда нужно рассуждать о любом чётном числе, а не только о конкретном примере.

Нечётное число — целое число, которое при делении на 2 даёт остаток 1; его можно записать как 2k + 1, где k — целое число. Например, 15 = 2 · 7 + 1. Эта запись помогает увидеть, что нечётное число отличается от чётного на единицу.

Признак делимости на 2 гласит: число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Например, у числа 326 последняя цифра 6, поэтому оно чётное. Признак позволяет проверять большие числа без деления столбиком.

Чётность числа — это свойство быть чётным или нечётным. Например, у чисел 28 и 35 разная чётность: первое чётное, второе нечётное. Это понятие позволяет описывать числа по их свойству и предсказывать чётность результата действий.

Как это устроено

При делении целого числа на 2 остаток должен быть меньше делителя и неотрицательным. Поэтому возможны только два остатка: 0 или 1. Остаток 0 означает, что число делится на 2 без остатка, а остаток 1 — что после выделения пар остаётся ещё одна единица. Так все целые числа разделяются на чётные и нечётные.

Запись 2k показывает, что число получено умножением целого числа k на 2, а значит, оно делится на 2. В записи 2k + 1 к такому произведению прибавлена одна единица, поэтому получается нечётное число. Буквы k и m могут обозначать любые целые числа, так что эти формы описывают сразу целые группы чисел. Благодаря им можно доказывать общие свойства, не подбирая отдельные примеры.

Чтобы понять, почему для проверки достаточно последней цифры, разложим натуральное число по разрядам. Все десятки, сотни, тысячи и более крупные разряды составляют число, кратное 10. Поскольку 10 делится на 2, эта часть не меняет остаток при делении на 2. Значит, чётность всего числа зависит только от единиц — то есть от последней цифры.

Чётность суммы удобно выяснять с помощью записей 2k и 2k + 1. Сумма двух чётных чисел равна 2k + 2m = 2(k + m), а сумма двух нечётных — 2k + 1 + 2m + 1 = 2(k + m + 1); обе суммы делятся на 2. Если складываются числа разной чётности, получается 2k + 2m + 1 = 2(k + m) + 1, то есть нечётное число. Для произведения действует простое правило: если один множитель делится на 2, то и всё произведение делится на 2.

Чётность выражения с переменными проверяют, заменяя переменные подходящими формами. Если переменная чётная, её обозначают как 2k, а если нечётная — как 2k + 1. Затем выражение раскрывают или группируют так, чтобы увидеть множитель 2 либо форму 2n + 1. Например, сумма двух нечётных чисел принимает вид 2n, значит, она чётная. Такой способ позволяет доказать результат сразу для всех подходящих чисел.

Как различать чётные и нечётные числа

В таблице собраны три способа распознавания числа: по остатку, буквенной записи и последней цифре. Примеры показывают, как применить эти признаки на практике. Пользуйся тем способом, который подходит к задаче: для большого натурального числа быстрее всего проверить последнюю цифру.

Разбор задач

Определи, какие из чисел 128, 305 и 740 являются чётными.

Здесь не требуется делить каждое число на 2: применим признак делимости на 2. Для этого найдём последнюю цифру каждого числа и сравним её с цифрами 0, 2, 4, 6, 8. Такой способ особенно удобен, когда числа большие.

1. У числа 128 последняя цифра 8, поэтому число чётное.
2. У числа 305 последняя цифра 5, поэтому число нечётное.
3. У числа 740 последняя цифра 0, поэтому число чётное.

Итак, чётными являются 128 и 740, а 305 — нечётное. Проверка делением дала бы тот же результат, но признак позволяет получить его быстрее. Важно смотреть именно на последнюю цифру, а не на число целиком.

Докажи, что сумма двух нечётных чисел всегда чётная.

Чтобы доказать утверждение для любых нечётных чисел, обозначим их буквами и воспользуемся определением. Пусть первое число равно 2k + 1, а второе — 2m + 1, где k и m — целые числа. Теперь сложим эти выражения и проверим, можно ли представить результат как 2n.

1. Сложим числа: (2k + 1) + (2m + 1).
2. Сгруппируем слагаемые: 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1).
3. Так как k + m + 1 — целое число, сумма имеет вид 2n.

Получили число, которое делится на 2 без остатка, значит, оно чётное. Доказательство подходит для любой пары нечётных чисел, поскольку мы не выбирали конкретные значения k и m. Например, 7 + 9 = 16 подтверждает правило на частном случае, но само по себе не заменяет доказательство.

Докажи, что произведение трёх последовательных целых чисел чётное.

У трёх последовательных целых чисел один шаг между соседями, поэтому среди них обязательно есть чётное. Действительно, чётные и нечётные числа чередуются: после чётного идёт нечётное, а за ним — чётное. Если один из множителей делится на 2, то всё произведение также делится на 2.

1. Обозначим три последовательных числа как n, n + 1 и n + 2.
2. Если n чётное, оно уже является чётным множителем.
3. Если n нечётное, то n + 1 чётное, поэтому произведение снова содержит чётный множитель.

В обоих случаях произведение трёх чисел делится на 2 без остатка и является чётным. Например, в произведении 5 · 6 · 7 чётный множитель — 6. Аргумент работает и для последовательности, начинающейся с отрицательного числа, поскольку целые числа также чередуются по чётности.

Типичные ошибки

Ошибка — считать число нечётным только потому, что оно не делится на 10. Делимость на 10 требует, чтобы последняя цифра была 0, а для чётности достаточно делимости на 2: например, 26 чётное, хотя на 10 не делится. Проверяй остаток при делении на 2 или последнюю цифру, а не делимость на 10.

Некоторые проверяют все цифры числа, хотя чётность определяется только последней. Так поступают, потому что кажется, будто каждая цифра одинаково влияет на результат; на деле все остальные разряды дают число, кратное 10, а значит, кратное 2. Для самопроверки закрой остальные цифры и определи чётность по последней.

Неверно утверждать, что сумма двух нечётных чисел нечётная. Можно ошибочно перенести правило о сумме чисел разной чётности, но два остатка 1 при сложении дают 2, которое делится на 2. Проверь утверждение записью (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1).

При доказательстве нельзя заменять чётное число просто на k: любое целое число может быть нечётным, поэтому такая запись не показывает делимость на 2. Чётное число нужно обозначать как 2k, где k — целое. Перед завершением доказательства проверь, что в полученном выражении действительно есть множитель 2.

Связь с другими темами

Для работы с чётностью нужны деление с остатком, умножение и разрядный состав натуральных чисел. Деление объясняет, какие остатки возможны, а понимание десятков и единиц помогает вывести признак по последней цифре. Если эти основы знакомы, определения 2k и 2k + 1 становятся понятными и полезными.

Чётность используется при изучении делимости и при рассуждениях о числовых выражениях. Она помогает решать задачи на целые числа, когда требуется понять, возможен ли определённый результат, не перебирая все значения. Правила для сумм и произведений превращают такое рассуждение в короткое доказательство.

Что запомнить

• Чётное число делится на 2 без остатка.
• Нечётное число при делении на 2 даёт остаток 1.
• Чётные числа записываются в виде 2k, нечётные — в виде 2k + 1.
• Чётность натурального числа определяет его последняя цифра.
• Сумма чисел разной чётности нечётная.
• Сумма двух чисел одинаковой чётности чётная.
• Произведение с чётным множителем чётное.