Урок 2.Четные и нечетные числа

Определения и обозначения

Чётное натуральное число — это число, которое делится на 2 без остатка. Его записывают в виде 2k, где k — целое неотрицательное число. Например, если k = 6, получаем 2 · 6 = 12. Такая запись удобна, когда нужно рассуждать сразу о любом чётном числе, а не об одном конкретном примере.

Нечётное натуральное число при делении на 2 даёт остаток 1. Его можно записать в виде 2k + 1, где k — целое неотрицательное число. Например, при k = 6 получается 2 · 6 + 1 = 13. Запись помогает отличать нечётные числа и исследовать их свойства.

Буква k в записях 2k и 2k + 1 обозначает целое неотрицательное число: 0, 1, 2, 3 и так далее. Меняя k, мы получаем разные числа одного вида: 0, 2, 4, 6 — вида 2k, а 1, 3, 5, 7 — вида 2k + 1. Буква нужна для общего описания целой группы чисел, а не только для вычисления конкретного ответа.

Чётность числа — это признак, который определяется остатком при делении на 2. Остаток 0 означает, что число чётное, а остаток 1 — что нечётное. Других остатков при делении на 2 быть не может. Поэтому чётность позволяет распределить все натуральные числа по двум группам.

Как это устроено

При делении натурального числа на 2 остаток может быть только 0 или 1: остаток должен быть меньше делителя. Если остаток равен 0, число составлено из целого количества пар, а если 1 — к парам добавлена ещё одна единица. Так натуральные числа по очереди попадают в две группы: 1 — с остатком 1, 2 — с остатком 0, 3 — с остатком 1, 4 — с остатком 0. Этим объясняется, почему каждое натуральное число либо чётное, либо нечётное.

Умножение любого целого неотрицательного числа k на 2 даёт число, которое делится на 2, поэтому выражение 2k всегда чётное. Если к нему прибавить 1, получится следующее за ним число, при делении которого на 2 остаётся 1: это 2k + 1. Например, при k = 4 записи дают 8 и 9. Значит, формы 2k и 2k + 1 точно описывают чётные и нечётные числа.

Для проверки большого числа не нужно выполнять деление: достаточно посмотреть на цифру в разряде единиц. Десятки, сотни и другие разряды дают слагаемые, кратные 10, а каждое такое слагаемое делится на 2. Поэтому чётность всего числа зависит только от единиц: числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8, чётные. Например, у числа 638 последняя цифра 8, значит, число чётное.

Чётность суммы можно понять, заменив слагаемые выражениями нужного вида. Сумма двух чётных чисел равна 2a + 2b = 2(a + b), поэтому делится на 2. Сумма двух нечётных равна (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1), она тоже чётная. А сумма чётного и нечётного имеет вид 2a + (2b + 1) = 2(a + b) + 1, поэтому остаётся нечётной.

Для произведения используют те же записи. Если хотя бы один множитель чётный, например 2a, произведение с числом n равно 2(an), а значит, делится на 2. Если оба множителя нечётные, то (2a + 1)(2b + 1) = 2(2ab + a + b) + 1, то есть произведение нечётное. Так можно определить чётность произведения по множителям, даже не вычисляя его полностью.

Чётные и нечётные числа

Сравните свойства в строках таблицы: запись через k показывает общий вид чисел, а остаток — определение чётности. Чтобы проверить конкретное число, воспользуйтесь строкой о последней цифре. Строки о сумме и произведении помогают предсказать чётность результата до вычисления.

Разбор задач

1. Определите, какие из чисел 34, 57 и 102 являются чётными, а какие — нечётными.

Для определения чётности большого числа проверяем его последнюю цифру: другие цифры на результат не влияют. Если последняя цифра входит в набор 0, 2, 4, 6, 8, число чётное; если в набор 1, 3, 5, 7, 9 — нечётное. Применим это правило отдельно к каждому числу.

1. Число 34 оканчивается цифрой 4, поэтому оно чётное.
2. Число 57 оканчивается цифрой 7, поэтому оно нечётное.
3. Число 102 оканчивается цифрой 2, поэтому оно чётное.

Ответ: 34 и 102 — чётные числа, 57 — нечётное. Делить числа на 2 для этой проверки не требуется. Важно смотреть именно на цифру в разряде единиц.

2. Докажите, что сумма двух нечётных натуральных чисел чётна.

Чтобы доказать утверждение для любых нечётных чисел, обозначим их не конкретными числами, а выражениями 2a + 1 и 2b + 1. Здесь a и b — целые неотрицательные числа. Затем сложим выражения и проверим, можно ли представить результат в виде 2k.

1. Пусть первое нечётное число равно 2a + 1, а второе — 2b + 1.
2. Сложим их: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2.
3. Вынесем 2 за скобки: 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1).
4. Выражение в скобках — целое неотрицательное число, значит, сумма имеет вид 2k и делится на 2 без остатка.

Ответ: сумма двух нечётных натуральных чисел всегда чётна. Например, 5 + 9 = 14, но запись через a и b доказывает это сразу для любых двух таких чисел.

3. Известно, что произведение двух натуральных чисел нечётно. Определите, могут ли среди множителей быть чётные числа.

Здесь не требуется находить само произведение: известна его чётность, и нужно сделать вывод о множителях. Если один множитель чётный, его можно записать как 2a. Умножение на любое натуральное число тогда сохраняет множитель 2, а результат становится чётным.

1. Предположим, что один из множителей чётный, и обозначим его 2a.
2. Пусть второй множитель равен n. Тогда произведение равно 2a · n = 2(an).
3. Получившееся выражение делится на 2, поэтому произведение было бы чётным.
4. Это противоречит условию, что произведение нечётно. Значит, предположение о чётном множителе неверно.

Ответ: среди множителей не может быть чётных чисел; оба множителя нечётные. Такой вывод годится и для произведений с большим числом множителей: наличие хотя бы одного чётного множителя делает чётным всё произведение.

Типичные ошибки

Ошибка: считать число нечётным, если оно не делится на 10. Делимость на 10 означает, что число оканчивается нулём, но для чётности нужно деление на 2; например, 14 не делится на 10, однако является чётным. Проверяйте не делимость на 10, а остаток при делении на 2 или последнюю цифру.

Ошибка: проверять все цифры числа. Иногда кажется, что каждая цифра должна быть чётной, но чётность определяется не отдельными разрядами, а числом целиком. Разряды десятков, сотен и дальше дают чётные слагаемые, поэтому значение имеет только цифра единиц. Для самопроверки закройте остальные цифры и проверьте последнюю.

Ошибка: утверждать, что сумма двух нечётных чисел нечётна. Такое предположение может появиться из-за мысли, что нечётность слагаемых сохраняется при сложении, однако два остатка 1 в сумме дают 2, то есть ещё одну полную пару. Запишите числа как 2a + 1 и 2b + 1: получится 2(a + b + 1), поэтому сумма чётная.

Ошибка: переносить правило для суммы на произведение. Например, смешанная пара чётного и нечётного слагаемых даёт нечётную сумму, но в произведении одного чётного множителя уже достаточно для чётного результата. Проверьте это записью 2a · n = 2(an): множитель 2 остаётся в произведении. Для суммы и произведения сначала выбирайте соответствующее правило.

Связь с другими темами

Для изучения чётности нужно уметь делить с остатком и понимать, что значит делиться нацело. При делении натурального числа на 2 остаток равен 0 или 1, и именно по нему определяется группа числа. Если понятие остатка знакомо, записи 2k и 2k + 1 позволяют кратко показать, как устроены чётные и нечётные числа.

Чётность пригодится при изучении делимости и других признаков делимости чисел. Она помогает решать задачи, где нужно выяснить свойства суммы или произведения, не вычисляя их до конца. Такие рассуждения учат доказывать утверждения для целого класса чисел, а не только проверять отдельные примеры.

Что запомнить

• Чётное число имеет вид 2k.
• Нечётное число имеет вид 2k + 1.
• Чётное число оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.
• Нечётное число оканчивается цифрой 1, 3, 5, 7 или 9.
• Сумма двух чисел одинаковой чётности чётна.
• Сумма чётного и нечётного числа нечётна.
• Произведение с чётным множителем чётно.