Урок 3.Умножение числа 3 Деление на 3

Определения и обозначения

Умножение на 3 — действие, которое заменяет сложение трёх одинаковых слагаемых. Запись 3 × n означает, что число n взяли три раза: 3 × n = n + n + n. Это удобно, когда одинаковых групп несколько и их общее количество нужно найти быстрее, чем пересчитывать предметы по одному.

Произведение — результат умножения. Например, в записи 3 × 4 = 12 число 12 является произведением. Чтобы найти произведение числа и 3 по смыслу действия, складывают три одинаковых числа: 4 + 4 + 4 = 12. Такой способ помогает понять, откуда берётся ответ, и проверить запомненный пример.

Деление на 3 — действие, при котором число делят на три равные части или выясняют, сколько групп по 3 предмета в нём содержится. Например, 12 : 3 можно понять как распределение 12 предметов между тремя участниками или как составление наборов по три предмета. Деление нужно, чтобы найти размер равных частей или количество одинаковых групп.

Частное — результат деления. В примере 12 : 3 = 4 частное равно 4. Проверить деление на 3 можно умножением: частное умножают на 3 и сравнивают с делимым. Если 4 × 3 = 12, значит, равенство 12 : 3 = 4 верно.

Как это устроено

Умножение на 3 можно представить как сложение трёх одинаковых слагаемых. Например, 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12: есть три группы, и в каждой по четыре предмета. Такое представление объясняет смысл умножения и помогает, если таблица пока не выучена. Считать группы удобно, потому что не приходится перечислять каждый предмет отдельно.

Значения произведений с числом 3 можно найти по порядку, каждый раз прибавляя к предыдущему ответу ещё 3. Начинаем с 3 × 1 = 3, затем 3 × 2 = 6, а следующее произведение равно 9; так продолжаем до 3 × 9 = 27. Например, три коробки с тремя карандашами в каждой — это 3 + 3 + 3, или 9 карандашей. Образы групп помогают увидеть, почему результаты идут с шагом 3.

Множители можно поменять местами, не меняя произведение: 3 × n = n × 3. Поэтому, если известно, что 3 × 4 = 12, то и 4 × 3 = 12. Записи описывают расположение групп по-разному: три группы по четыре предмета или четыре группы по три. Это свойство позволяет использовать уже знакомый пример, когда множители в задаче стоят в другом порядке.

Деление на 3 показывает две разные ситуации. Если 12 предметов распределить поровну между тремя детьми, каждый получит 4 предмета; если разложить 12 предметов по три в набор, получится 4 набора. В обоих случаях вычисление одно: 12 : 3 = 4, но вопрос задачи меняется. Поэтому при решении важно определить, ищем ли мы размер каждой части или количество групп.

Умножение и деление связаны как обратные действия: одно помогает восстановить результат другого. Если 3 × n = m, то m : 3 = n, потому что число m состоит из трёх групп по n. Например, из равенства 3 × 6 = 18 следует 18 : 3 = 6. Проверка устроена так же: частное умножают на делитель, и в результате должно получиться делимое.

Умножение числа 3 и деление на 3

В таблице умножения каждый следующий результат увеличивается на 3, а при делении мы узнаём, сколько таких троек содержится в числе. Сначала можно смотреть на смысл и проверку, а затем постепенно запоминать ответы. Для самопроверки сопоставляй умножение и деление в одном столбце: например, 3 × 4 = 12 и 12 : 3 = 4.

Разбор задач

В коробках лежат карандаши: в каждой по 3 карандаша, коробок 4. Сколько карандашей всего? Здесь известны размер одной группы и количество групп, поэтому нужно найти общее число предметов умножением. Можно представить коробки отдельно и посчитать карандаши в каждой, а затем сложить получившиеся одинаковые количества. Рассуждение можно записать так:

1. В одной коробке 3 карандаша, а коробок 4, значит, число 3 нужно взять четыре раза.
2. Вычисляем: 3 × 4 = 12, или 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
3. Проверяем смысл ответа: в четырёх группах по три предмета должно быть больше трёх карандашей, всего получается 12.

Ответ: всего 12 карандашей. Перестановка множителей тоже даёт 12: 4 × 3 = 12, но запись 3 × 4 подчёркивает, что в каждой коробке лежит по три карандаша. Сложение показывает те же четыре коробки по отдельности. Поэтому умножение здесь сокращает запись повторяющегося сложения.

18 яблок разложили поровну на 3 тарелки. Сколько яблок на каждой тарелке? Слова «поровну на 3 тарелки» указывают на деление числа на три равные части. Нужно узнать не количество тарелок, оно уже известно, а сколько яблок попадёт на каждую. Решим задачу по шагам:

1. Записываем действие: 18 : 3, потому что 18 яблок распределяют между тремя тарелками.
2. Находим число, которое при умножении на 3 даёт 18: это 6, так как 3 × 6 = 18.
3. Проверяем деление обратным действием: 6 × 3 = 18, значит, части равные и все яблоки распределены.

Ответ: на каждой тарелке по 6 яблок. Проверка помогает не только убедиться в вычислении, но и увидеть связь с исходным количеством. Если бы на тарелке оказалось другое число, умножение этого числа на 3 не дало бы 18. Значит, частное найдено верно.

Для игры приготовили 27 фишек и раскладывают их по 3 в каждый набор. Сколько наборов получится и как изменится ответ, если фишки распределить поровну между 3 игроками? В первой части число 3 показывает размер каждого набора, поэтому ищем количество наборов. Во второй части число 3 обозначает количество игроков, поэтому ищем число фишек у каждого. Это два смысла одного действия, и их полезно не смешивать.

1. Для наборов вычисляем 27 : 3: узнаём, сколько раз по три содержится в 27.
2. Получаем 9 наборов, потому что 9 × 3 = 27.
3. Для игроков снова вычисляем 27 : 3, теперь это распределение поровну между тремя людьми.
4. Каждый игрок получит 9 фишек; проверка та же: 9 × 3 = 27.

Ответ: получится 9 наборов; при распределении между тремя игроками каждый получит по 9 фишек. Численный результат совпал, потому что в обоих случаях число делят на 3. Однако ответ на вопрос первой части — это число наборов, а второй — количество фишек у одного игрока.

Типичные ошибки

Ошибка: считать 3 × 4 как 3 + 4. Так происходит, если забыть, что множители обозначают одинаковые группы, и сложить сами числа. Проверь смысл: 3 × 4 — это 4 + 4 + 4, если следуем записи 3 × n, а результат равен 12. Нарисуй три группы по четыре предмета — это покажет, почему ответ не равен 7.

Ошибка: помнить 3 × 4, но затрудняться с 4 × 3. Причина в том, что ученик запоминает отдельные примеры, но не использует переместительное свойство. Перестановка множителей не меняет произведение, поэтому 4 × 3 тоже равно 12. Для проверки представь четыре группы по три предмета и сравни их общее количество с тремя группами по четыре.

Ошибка: при делении на 3 вычесть 3 только один раз и остановиться. Однократное вычитание не показывает, сколько равных частей или троек получится; нужно продолжать распределение или считать группы до конца. Проверь ответ умножением: при 18 : 3 = 6 произведение 6 × 3 должно дать 18. Если после проверки исходное число не восстановилось, решение нужно пересмотреть.

Ошибка: перепутать число групп и количество предметов в каждой группе. Например, при 27 фишках, разложенных по три, спрашивают число наборов, а при распределении между тремя игроками — число фишек у каждого. Эту путаницу вызывают одинаковые вычисления, хотя вопросы в задачах разные. Перед делением подчеркни, что именно требуется найти, а после вычисления назови ответ с подходящей единицей: наборы или фишки на человека.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки счёта группами, сложения одинаковых слагаемых и понимание записи умножения. При делении пригодится представление о равных частях и группах: именно оно помогает выбрать действие по условию задачи. Таблица умножения на 3 используется в задачах, при изучении умножения и деления на другие числа и при работе с кратными числами. Уверенное знание таблицы позволяет быстрее вычислять и проверять ответы.

Что запомнить

• Умножить число на 3 — значит взять три одинаковые группы этого числа.
• 3 × n = n + n + n.
• От перестановки множителей произведение не меняется.
• Деление на 3 помогает распределить число поровну между тремя или найти число групп по 3.
• Если 3 × n = m, то m : 3 = n.
• Деление на 3 можно проверить умножением частного на 3.