Урок 10.Диагональ многоугольника

Определения и обозначения

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседними называют вершины, между которыми нет стороны многоугольника. Диагональ отличается от стороны тем, что не является частью границы фигуры: этот отрезок соединяет вершины через её внутреннюю область. Понятие диагонали помогает исследовать, как устроен многоугольник и на какие части его можно разделить.

Соседние вершины — вершины, соединённые одной стороной. Если соединить их отрезком, получится уже имеющаяся сторона, а не новая диагональ. Поэтому при подсчёте диагоналей отрезки между соседними вершинами не учитывают. Это различие позволяет не смешивать все отрезки между вершинами с диагоналями.

Число диагоналей многоугольника — общее количество отрезков, соединяющих его несоседние вершины. Обычно число сторон обозначают буквой n, и тогда многоугольник называют n-угольником. Количество диагоналей зависит от числа вершин и находится по формуле n(n − 3)/2. Она даёт общее число диагоналей, а не число отрезков, выходящих из одной вершины.

Как это устроено

Пусть выбрана одна вершина многоугольника. Отрезок к ней самой провести нельзя, а отрезки к двум соседним вершинам являются сторонами. Из всех n вершин остаётся исключить эти три, поэтому из выбранной вершины выходит n − 3 диагонали. Так же можно рассуждать, выбирая любую другую вершину.

Чтобы получить число диагоналей во всём многоугольнике, можно сложить количества диагоналей, выходящих из каждой вершины. Таких вершин n, и из каждой выходит n − 3 диагонали, поэтому получается произведение n(n − 3). Но это пока не искомое число: например, отрезок между вершинами A и B при подсчёте от A и при подсчёте от B — одна и та же диагональ.

Каждая диагональ имеет два конца, поэтому при подсчёте из всех вершин она учитывается дважды. Чтобы исправить двойной подсчёт, произведение n(n − 3) делят на 2. Так получается формула общего числа диагоналей: n(n − 3)/2. В ней n — именно число сторон многоугольника, которое одновременно равно числу его вершин.

Формулу можно проверить на фигурах, где диагонали легко перечислить. У треугольника соседними с каждой вершиной являются обе остальные, поэтому диагоналей нет; формула даёт 3(3 − 3)/2 = 0. У четырёхугольника можно соединить диагоналями две пары противоположных вершин, так что их две; формула даёт 4(4 − 3)/2 = 2. У пятиугольника из каждой вершины выходит 2 диагонали, а всего получается 5 · 2 / 2 = 5.

При увеличении числа сторон появляются новые вершины, а вместе с ними — новые пары несоседних вершин, которые можно соединить диагоналями. Поэтому в целом у многоугольников с большим числом сторон диагоналей больше. Например, формула даёт для шестиугольника 9 диагоналей, а для восьмиугольника — 20. Рост числа диагоналей не равен просто числу добавленных сторон, потому что меняются и возможные соединения между уже имеющимися вершинами.

Число диагоналей многоугольника

Чтобы заполнить строку таблицы, из числа сторон вычтите 3 и получите число диагоналей из одной вершины. Затем умножьте это значение на число вершин и разделите на 2. Последнее действие необходимо, потому что каждая диагональ учитывается с обоих концов.

Разбор задач

Задача 1. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины пятиугольника? Нужно найти диагонали только от одной вершины, поэтому формула общего количества здесь не требуется. У пятиугольника n = 5 сторон и столько же вершин. Исключим выбранную вершину и две соседние.

1. Запишем правило для одной вершины: n − 3. Вычитаем выбранную вершину, к которой нельзя провести отрезок, и двух соседей, соединённых с ней сторонами.
2. Подставим число сторон пятиугольника: 5 − 3 = 2. Значит, из одной вершины можно соединиться диагоналями с двумя несоседними вершинами.

Ответ: 2 диагонали.

Задача 2. Сколько всего диагоналей у восьмиугольника? Здесь требуется общее число диагоналей, поэтому используем формулу n(n − 3)/2. Восьмиугольник имеет 8 сторон. Деление на 2 учитывает, что каждая диагональ была бы посчитана с каждого из двух концов.

1. Подставим n = 8 в формулу: 8(8 − 3)/2. Сначала найдём число диагоналей из одной вершины: 8 − 3 = 5.
2. Умножим 8 на 5 и разделим результат на 2: 8 · 5 / 2 = 40 / 2 = 20. Деление на два убирает повторный подсчёт каждой диагонали.

Ответ: у восьмиугольника 20 диагоналей.

Задача 3. В многоугольнике 35 диагоналей. Сколько у него сторон? В этой задаче число диагоналей известно, а число сторон надо найти. Обозначим число сторон буквой n и приравняем выражение для числа диагоналей к 35. После решения уравнения проверим, что найденное число подходит для многоугольника.

1. Составим уравнение: n(n − 3)/2 = 35. Умножим обе части на 2: n(n − 3) = 70.
2. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть: n² − 3n − 70 = 0. Разложим на множители: (n − 10)(n + 7) = 0.
3. Получаем n = 10 или n = −7. Число сторон не может быть отрицательным, поэтому выбираем натуральное решение n = 10 и проверяем: 10 · 7 / 2 = 35.

Ответ: 10 сторон.

Типичные ошибки

Считать сторону диагональю. Так ошибаются, когда считают диагональю любой отрезок между вершинами. Проверьте, соседние ли эти вершины: если они соединены стороной многоугольника, отрезок не является диагональю. Диагональ соединяет только несоседние вершины.

Вычитать только саму вершину. Тогда вместо n − 3 получают n − 1, потому что забывают о двух соседних вершинах. Отрезки к соседям — стороны, а не диагонали. Для проверки перечислите, какие именно вершины исключаются: выбранная и две соседние.

Не делить n(n − 3) на 2. Произведение описывает подсчёт диагоналей из всех вершин, и одна диагональ попадает в него с каждого конца. Поэтому без деления получится число вдвое больше правильного. Проверка проста: проследите один отрезок и убедитесь, что он учтён дважды.

Путать число сторон и число диагоналей. В формулу вместо n иногда подставляют известное количество диагоналей или, наоборот, считают найденное значение числом диагоналей. Перед вычислениями подпишите, что дано, и что нужно найти. Для обратной задачи обозначьте неизвестное число сторон буквой n и составьте уравнение.

Связь с другими темами

Для подсчёта диагоналей нужны понятия многоугольника, вершины и стороны, а также умение различать соседние и несоседние вершины. Если эти определения знакомы, можно сразу определить, какие отрезки учитывать и почему стороны не входят в число диагоналей. Формула связывает число сторон с количеством возможных соединений несоседних вершин.

Диагонали помогают изучать свойства многоугольников и разбивать их на треугольники. Такое разбиение пригодится при вычислении сумм углов: свойства треугольников позволяют перейти от сложной фигуры к более знакомым частям. Поэтому подсчёт диагоналей связан с дальнейшим изучением геометрии многоугольников.

Что запомнить

• Диагональ соединяет две несоседние вершины многоугольника.
• Сторона многоугольника диагональю не является.
• Из одной вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали.
• Общее число диагоналей n-угольника равно n(n − 3)/2.
• При подсчёте диагоналей по вершинам каждую диагональ учитывают дважды.
• У треугольника диагоналей нет.