Урок 9.Диагональ многоугольника

Определения и обозначения

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Например, в четырёхугольнике отрезки между противоположными вершинами являются диагоналями. Это понятие нужно, чтобы отличать такие отрезки от сторон и подсчитывать их количество.

Соседние вершины — вершины многоугольника, соединённые одной его стороной. У каждой вершины многоугольника есть две соседние вершины, если вершины перечислены по порядку. Проверка соседства помогает понять, будет ли соединяющий отрезок стороной или диагональю.

Число диагоналей из вершины — количество диагоналей, которые можно провести из одной выбранной вершины. Для подсчёта выбирают одну вершину и рассматривают все возможные соединения с другими вершинами. Это позволяет вывести формулу для всего многоугольника.

Общее число диагоналей — количество всех диагоналей многоугольника. Его обозначают формулой через число вершин n. Такое число нужно находить в задачах, где требуется определить все диагонали фигуры или восстановить число её вершин.

Как это устроено

Сторона, соединяющая соседние вершины, не является диагональю, потому что диагональ должна проходить между вершинами, не связанными стороной. Если взять вершины A и B, соединённые стороной, отрезок AB уже относится к границе многоугольника. Поэтому при подсчёте диагоналей рассматривают только пары несоседних вершин.

Рассмотрим одну вершину n-угольника. К самой себе отрезок не проводят, а две соседние вершины дают стороны, а не диагонали. Из n возможных вершин для соединения исключаются эти три случая, поэтому из выбранной вершины можно провести n − 3 диагонали.

Чтобы найти общее число диагоналей, можно посчитать диагонали из каждой вершины. Однако каждая диагональ имеет два конца, и при таком подсчёте она появляется один раз около одного конца и ещё один раз около другого. Значит, полученная сумма в два раза больше настоящего числа диагоналей.

Из одной вершины выходит n − 3 диагонали, а всего вершин n, поэтому сначала получается произведение n(n − 3). Оно считает каждую диагональ дважды, следовательно, результат нужно разделить на 2. Формула общего числа диагоналей имеет вид d = n(n − 3) / 2, где d — число диагоналей.

Проверим формулу на простых фигурах. Для треугольника n = 3: d = 3(3 − 3) / 2 = 0. Для четырёхугольника d = 4(4 − 3) / 2 = 2, а для пятиугольника d = 5(5 − 3) / 2 = 5, что совпадает с подсчётом по вершинам.

Диагонали многоугольников

В таблице показано, сколько диагоналей выходит из одной вершины и сколько их всего. Для конкретного многоугольника достаточно найти строку с нужным числом вершин. В последней строке вместо конкретного числа используется n, поэтому приведены общие формулы.

Разбор задач

Задача 1

Определить, являются ли отрезки между указанными парами вершин треугольника, четырёхугольника и пятиугольника диагоналями. Условие о диагонали сводится к одному вопросу: являются ли концы отрезка несоседними вершинами. Поэтому сначала нужно установить соседство каждой пары.

1. В треугольнике ABC пары AB, BC и CA состоят из соседних вершин. Все эти отрезки являются сторонами, поэтому диагоналей у треугольника нет.
2. В четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD соединяют несоседние вершины. Они являются диагоналями, а AB, BC, CD и DA — сторонами.
3. В пятиугольнике ABCDE диагоналями будут AC, AD, BD, BE и CE, поскольку в каждой паре вершины не соединены стороной.

Ответ: в треугольнике диагоналей нет; у четырёхугольника диагонали AC и BD; у пятиугольника — AC, AD, BD, BE и CE. Для любого другого отрезка нужно повторить проверку соседства его концов.

Задача 2

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины десятиугольника и сколько диагоналей он имеет всего? Здесь известно число вершин n = 10, поэтому применяем сначала формулу для одной вершины, а затем формулу общего количества.

1. Находим число диагоналей из одной вершины: n − 3 = 10 − 3 = 7.
2. Подставляем n в общую формулу: d = 10(10 − 3) / 2.
3. Вычисляем: d = 10 · 7 / 2 = 35.

Ответ: из одной вершины можно провести 7 диагоналей, а всего десятиугольник имеет 35 диагоналей. Деление на 2 обязательно, потому что каждая диагональ учитывается у обоих своих концов.

Задача 3

В многоугольнике проведено 14 диагоналей. Нужно определить число его вершин. Обозначим число вершин буквой n и приравняем формулу общего числа диагоналей к 14.

1. Составляем уравнение: n(n − 3) / 2 = 14.
2. Умножаем обе части на 2: n(n − 3) = 28, или n² − 3n − 28 = 0.
3. Разлагаем на множители: (n − 7)(n + 4) = 0. Получаем n = 7 или n = −4.
4. Число вершин не может быть отрицательным, поэтому подходит только n = 7.

Ответ: многоугольник имеет 7 вершин. Проверка: 7(7 − 3) / 2 = 7 · 4 / 2 = 14.

Типичные ошибки

Стороны иногда принимают за диагонали, если смотрят только на то, что отрезок соединяет две вершины. Ошибка появляется из-за пропуска условия о несоседних вершинах. Проверьте, соединены ли концы отрезка одной стороной: если да, это сторона.

Некоторые используют формулу n − 2 вместо n − 3. Так происходит, когда забывают исключить выбранную вершину, к которой нельзя провести отрезок. Для проверки перечислите три исключения: сама вершина и две соседние.

При подсчёте всех диагоналей можно получить n(n − 3), но остановиться на этом результате. Каждая диагональ тогда посчитана от одного конца и от другого. Если считали диагонали из всех вершин, обязательно разделите результат на 2.

В формуле иногда подставляют число сторон вместо числа вершин или наоборот. Для обычного многоугольника эти числа равны, но обозначать нужно именно число вершин n. Проверьте, что выбранное значение соответствует условию и названию фигуры.

Связь с другими темами

До изучения диагоналей нужно знать, что такое вершина, сторона и многоугольник, а также уметь пересчитывать элементы фигуры. Эти понятия помогают правильно определять соседние и несоседние вершины.

Тема связана с классификацией многоугольников: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и другие фигуры различаются числом вершин и сторон. По этому числу можно применять формулы и сравнивать количество диагоналей.

Формула диагоналей пригодится при разбиении многоугольников на треугольники и при решении задач на количество элементов фигур. Она также помогает устанавливать число вершин, если известно количество диагоналей.

Что запомнить

• Диагональ соединяет две несоседние вершины многоугольника.
• У треугольника диагоналей нет.
• Из одной вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали.
• Общее число диагоналей n-угольника равно n(n − 3) / 2.
• Каждая диагональ при подсчёте из вершин учитывается дважды.
• Чтобы найти число вершин по числу диагоналей, нужно решить уравнение n(n − 3) / 2.