Урок 17.Письменные приемы сложения и вычитания

Определения и обозначения

Письменное сложение — сложение чисел столбиком с поразрядным вычислением, начиная с единиц. В каждом столбце складывают цифры одного разряда, а при необходимости учитывают перенос из предыдущего. Такой способ помогает аккуратно вычислять суммы многозначных чисел.

Письменное вычитание — вычитание чисел столбиком с поразрядным вычитанием, начиная с единиц. Если в каком-либо разряде уменьшаемого не хватает единиц, их получают из соседнего старшего разряда. Это позволяет выполнять вычитание по отдельным столбцам, не смешивая разряды.

Перенос разряда — запись единицы следующего разряда, если сумма цифр в разряде равна десяти или больше. Например, десять единиц составляют один десяток: в столбце единиц записывают 0, а 1 прибавляют к десяткам. Перенос нужен, чтобы правильно представить полученную сумму.

Разрядное преобразование при вычитании — замена одной единицы старшего разряда десятью единицами соседнего младшего разряда. Например, один десяток можно заменить десятью единицами, а число десятков при этом уменьшить на один. Такое преобразование помогает вычесть большее число единиц из меньшего, не меняя значения всего числа.

Как это устроено

При записи столбиком единицы ставят под единицами, десятки под десятками и так далее. Значение цифры зависит от её места: например, 4 в числе 348 означает четыре десятка, а в числе 275 цифра 7 тоже означает десятки. Если поставить числа по краям, а не выровнять разряды, в одном столбце могут оказаться единицы и сотни, и результат станет неверным.

Вычисления начинают с младшего разряда, потому что именно там может возникнуть изменение для следующего столбца. При сложении из единиц переносится десяток, а при вычитании иногда приходится занимать единицу десятков. Если начать со старшего разряда, ещё неизвестно, нужно ли будет изменить его цифру после вычисления единиц.

При сложении сначала складывают цифры одного разряда и, если есть, перенос из предыдущего столбца. Когда сумма меньше десяти, её записывают целиком в этом разряде. Если сумма двузначная, цифру единиц оставляют в столбце, а десяток переносят к следующему разряду; там его обязательно прибавляют к остальным цифрам.

При вычитании сравнивают цифры уменьшаемого и вычитаемого в одном столбце. Если верхняя цифра меньше нижней, из соседнего старшего разряда берут одну единицу и заменяют её десятью единицами текущего разряда. Старший разряд, откуда взяли единицу, уменьшается на один, поэтому общее значение числа сохраняется.

Если при вычитании встречаются нули, занять единицу непосредственно у соседнего разряда нельзя. Нужно найти ближайший старший разряд с ненулевой цифрой: взять оттуда единицу, а через промежуточные нули последовательно передать её вниз. После преобразования промежуточные разряды обычно содержат по девять единиц, а нужный младший разряд получает десять; затем в нём выполняют вычитание.

Письменные приёмы сложения и вычитания

Пользуйся таблицей как порядком действий: сначала правильно расположи числа, затем работай по столбцам от единиц к старшим разрядам. Особенно внимательно следи за переносом при сложении и изменением разрядов при вычитании. В конце выбери проверку, подходящую к выполненному действию.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 348 + 275 столбиком. Сначала выравниваем единицы, десятки и сотни, потому что складывать нужно цифры одинаковых разрядов. Идём справа налево и отмечаем перенос, если сумма в столбце двузначная.

1. В разряде единиц получаем 8 + 5 = 13. Записываем 3 единицы, а 1 десяток переносим к десяткам.
2. В разряде десятков складываем 4 + 7 и перенесённую единицу: 4 + 7 + 1 = 12. Записываем 2 десятка, а 1 сотню переносим к сотням.
3. В разряде сотен получаем 3 + 2 + 1 = 6. Записываем 6 сотен; перенос дальше не нужен.

Ответ: 623. Для проверки можно вычесть из 623 одно из слагаемых: 623 − 275 = 348. Значит, сложение выполнено верно.

Задача 2. Вычислите 702 − 468 столбиком. В единицах нужно вычесть 8 из 2, поэтому преобразуем старший разряд. Десятки тоже равны нулю, и это нужно учесть: единицу для разряда единиц приходится передать через десятки от сотен.

1. Берём одну сотню из 7 сотен: остаётся 6 сотен, а в разряде десятков появляются 10 десятков. Один десяток передаём единицам, поэтому остаётся 9 десятков, а единиц становится 12.
2. В единицах вычисляем 12 − 8 = 4. В десятках получаем 9 − 6 = 3.
3. В сотнях вычисляем 6 − 4 = 2. Записываем цифры результата по разрядам: сотни, десятки, единицы.

Ответ: 234. Проверка: 234 + 468 = 702. Преобразование через ноль не изменило значение уменьшаемого, а только помогло представить его удобнее для вычитания.

Задача 3. Вычислите 60 004 − 27 638 столбиком и проверьте ответ сложением. Начинаем с единиц, но справа от цифры 6 стоят нули, поэтому единицы нельзя занять у соседнего разряда. Проследим, как одна единица из разряда десятков тысяч проходит через нулевые разряды к единицам.

1. Из 6 десятков тысяч берём одну единицу: остаётся 5 десятков тысяч, а в разряде тысяч после передачи дальше остаётся 9 тысяч. Затем сотни и десятки последовательно передают по одной единице младшему разряду, поэтому в каждом из них остаётся по 9.
2. В единицах получаем 14 − 8 = 6. В десятках вычисляем 9 − 3 = 6, в сотнях — 9 − 6 = 3.
3. В разряде тысяч получаем 9 − 7 = 2, а в десятках тысяч — 5 − 2 = 3. Записываем полученные цифры по порядку разрядов.

Ответ: 32 366. Проверка сложением: 32 366 + 27 638 = 60 004. Получили уменьшаемое, следовательно, результат вычитания верен.

Типичные ошибки

Числа иногда записывают не по разрядам, а выравнивают по краю записи. Тогда, например, единицы одного числа могут оказаться под десятками другого, и вычисление потеряет смысл. Проверяй, что единицы стоят под единицами, десятки под десятками и запятая, если она есть, тоже находится на одной линии.

При сложении можно забыть прибавить перенесённую единицу к следующему столбцу. Это происходит, когда перенос записан мелко и его не замечают при переходе к новому разряду. После каждого столбца проверь, есть ли перенос, и включи его в следующее сложение.

При вычитании иногда считают, что занятая единица исчезает, и не уменьшают на единицу разряд, из которого её взяли. Тогда изменяется значение уменьшаемого, а вместе с ним и ответ. Отмечай преобразование над записью и проверяй: разряд, отдавший одну единицу, должен стать на единицу меньше.

При переходе через нули можно неверно распределить единицы между разрядами или записать в младшем разряде не десять единиц. Ошибка возникает, если сразу перейти к нужному столбцу, не проследив передачу через промежуточные разряды. Найди ближайшую ненулевую цифру и последовательно проверь каждый разряд: он либо отдаёт единицу младшему, либо принимает её от старшего.

Связь с другими темами

Чтобы выполнять письменные действия, нужно знать разрядный состав многозначного числа и понимать, какую величину обозначает каждая цифра. Также пригодится устное сложение и вычитание однозначных чисел, в том числе с переходом через десяток: именно такие вычисления повторяются в столбцах. Письменные приёмы помогают работать с многозначными числами и позднее применяются при сложении и вычитании десятичных дробей.

Что запомнить

• Записывай числа столбиком, выравнивая их по разрядам.
• Вычисления выполняй справа налево, начиная с единиц.
• При сложении переноси десяток в следующий разряд.
• При вычитании при необходимости преобразуй единицу старшего разряда в десять единиц младшего.
• После вычисления проверь, разумен ли полученный ответ.
• Вычитание можно проверить сложением.