"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение суммы на число можно заменить сложением произведений: умножить на это число каждое слагаемое, а затем сложить результаты. Такое правило помогает быстрее считать и упрощать выражения. Например, 3 · (20 + 4) удобно записать как 3 · 20 + 3 · 4. Работает и обратное преобразование: если несколько слагаемых имеют общий множитель, его можно вынести за скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение суммы на число — действие, при котором число умножают на сумму нескольких слагаемых. Например, в выражении 3 · (20 + 4) число 3 умножается на сумму 20 и 4. Это понятие помогает увидеть разные способы вычисления одного выражения и выбрать более удобный.
Распределительное свойство умножения относительно сложения гласит: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты. Например, (a + b) · c = a · c + b · c. Это правило нужно, чтобы раскрывать скобки, упрощать выражения и считать по частям.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное преобразование: если в нескольких слагаемых есть одинаковый множитель, его записывают перед скобками, а оставшиеся множители складывают внутри. Так, a · c + b · c превращается в (a + b) · c. Это позволяет заменить сложение нескольких произведений одним произведением и часто облегчает вычисления.
Представь три одинаковые коробки, в каждой из которых 20 красных и 4 синих карандаша. Можно сначала найти число карандашей в одной коробке, 20 + 4, а затем умножить эту сумму на 3. Можно посчитать отдельно красные карандаши в трёх коробках и отдельно синие: 3 · 20 + 3 · 4. Ответы совпадут, потому что при подсчёте по частям ни один карандаш не пропадает и не считается дважды.
Буквами это правило записывают так: (a + b) · c = a · c + b · c. Здесь a и b — слагаемые, а c — число, на которое умножают сумму. Скобки показывают, что сначала рассматривается вся сумма, но при распределении множителя он должен попасть и к a, и к b. Если умножить только первое слагаемое, часть суммы останется неучтённой.
Если слагаемых три или больше, действует тот же смысл: умножитель относится к каждому из них. Например, (a + b + d) · c = a · c + b · c + d · c. Это можно представить как несколько частей каждой одинаковой группы: умножитель показывает число групп, поэтому число каждой части также повторяется столько раз. После отдельных умножений полученные произведения складывают.
Обратное преобразование применяют, когда в слагаемых замечают одинаковый множитель. Например, a · c + b · c можно записать как (a + b) · c: общий множитель c ставят перед скобками, а внутри оставляют множители a и b. Причина в том, что при раскрытии этих скобок снова получится исходная сумма произведений. Поэтому вынесение множителя не меняет значение выражения, а лишь меняет его запись.
Порядок вычислений выбирают по тому, какой способ проще. В выражении 3 · (20 + 4) можно сначала раскрыть скобки и получить 3 · 20 + 3 · 4, а можно сложить числа в скобках и умножить 3 на 24. Если сумма внутри скобок находится легко, второй способ может быть короче; если удобно умножать части отдельно, выбирают первый. Оба пути приводят к одному ответу, потому что основаны на равенстве.
| Ситуация | Запись | Что сделать |
|---|---|---|
| Сумма умножается на число | (a + b) · c | Умножить каждое слагаемое на c и сложить произведения. |
| Сумма трёх слагаемых умножается на число | (a + b + d) · c | Умножить на c каждое из трёх слагаемых и сложить результаты. |
| У слагаемых есть общий множитель | a · c + b · c | Вынести c за скобки: записать (a + b) · c. |
Сначала найди в выражении ситуацию из первого столбца, а затем сверь её запись со вторым. Последний столбец подсказывает нужное действие: раскрыть скобки или, наоборот, вынести общий множитель.
В скобках стоит сумма двух слагаемых, умноженная на 3. Можно применить распределительное свойство и посчитать отдельно произведения для каждого слагаемого. Такой путь удобен, потому что умножать на 20 и на 4 несложно.
Ответ: 72. Проверка другим способом: 20 + 4 = 24, а 3 · 24 = 72. Оба способа дают одно и то же значение.
Здесь можно либо умножить 7 на каждое слагаемое, либо сначала найти сумму в скобках. Сравнение способов показывает, что правило сохраняет значение выражения, но позволяет выбирать удобный порядок. Для проверки важно довести вычисления до конца в обоих случаях.
Ответ: 266. Результаты совпали, значит, оба способа вычисления верны. Здесь первый способ позволяет умножать на круглое число, а второй требует умножения 7 на 38.
Оба слагаемых — произведения, и в каждом есть множитель 25. Вместо двух умножений на 25 можно сначала сложить другие множители, а затем умножить их сумму на 25. Это и есть вынесение общего множителя за скобки.
Ответ: 500. Проверка: 16 · 25 = 400, 4 · 25 = 100, а 400 + 100 = 500. Преобразование не изменило выражение, а сделало вычисление короче.
Умножают только первое слагаемое. Например, ошибочно заменяют (a + b) · c на a · c + b. Так бывает, когда скобки раскрывают поспешно и забывают, что сумма целиком умножается на c. Проверь запись: после раскрытия около каждого слагаемого должен стоять множитель c.
Теряют знак одного из слагаемых. При раскрытии скобок нужно сохранить знаки и порядок слагаемых исходной суммы. Ошибку легко допустить, если переписывать выражение в уме. Сверь каждый член результата с тем, что стояло в скобках, и убедись, что знак не изменился.
Складывают множитель со слагаемым вместо умножения. Например, из (a + b) · c нельзя получить a + b + c: свойство распределяет умножение, но не заменяет его сложением. Такая путаница возникает, когда не замечают знак умножения перед скобками. Проверь, что в каждом полученном слагаемом сохранилось умножение на c.
Неверно выносят общий множитель. Если разделить на него только одно слагаемое или записать неправильные остатки в скобках, исходное выражение изменится. Найди частное отдельно для каждого слагаемого, а затем раскрой полученные скобки. Если при проверке не получается исходная запись, преобразование сделано неверно.
Для работы с правилом нужно понимать, что означают сложение и умножение, а также уметь находить значение выражения со скобками. Порядок действий подсказывает, когда выполнять вычисления внутри скобок и как не перепутать операции. Распределительное свойство используют в устных и письменных вычислениях, чтобы считать числа по частям или упрощать выражения. Оно также помогает преобразовывать выражения при решении уравнений.
Почему при умножении суммы на число нужно умножать каждое слагаемое?
Сумма показывает, сколько предметов или частей собрано вместе. Если взять такую группу несколько раз, то несколько раз прибавится каждое слагаемое, поэтому множитель относится ко всем слагаемым.
Как умножить на число сумму из трёх слагаемых?
Умножь на число каждое из трёх слагаемых, а затем сложи полученные произведения. Например, (a + b + d) · c = a · c + b · c + d · c.
Можно ли сначала сложить числа в скобках, а потом умножить?
Да, если сложение в скобках удобно выполнить, можно сначала найти сумму, а потом умножить её на число. Например, 7 · (30 + 8) = 7 · 38. Результат будет тем же, что и при раскрытии скобок.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Проверь, что множитель умножен на каждое слагаемое и знаки сохранены. Затем выполни вычисления двумя способами или вынеси общий множитель обратно за скобки и сравни выражения.
Когда удобнее выносить общий множитель за скобки?
Это удобно, когда слагаемые содержат один и тот же множитель, особенно если после вынесения его можно умножить на простую сумму. Например, вместо 16 · 25 + 4 · 25 можно вычислить (16 + 4) · 25.
Урок 5. Умножение суммы на число
