"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение суммы на число — это умножение каждого слагаемого на общий множитель с последующим сложением результатов. Такое правило называют распределительным свойством умножения относительно сложения: (a + b) · c = a · c + b · c. Оно помогает считать выражения удобным способом, раскрывать скобки и проверять вычисления. Сумму можно сначала найти в скобках, а можно распределить множитель между слагаемыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма состоит из слагаемых — чисел или выражений, которые соединены знаком сложения. В записи (a + b) · c слагаемые — a и b, потому что именно они складываются в скобках. По слагаемым удобно понять, какие части выражения нужно умножать отдельно.
Произведение суммы на число — результат умножения всей суммы на данный множитель. В выражении (a + b) · c сначала рассматривают сумму a + b, а затем умножают её значение на c. Такое название подчёркивает, что умножается не одно число из скобок, а вся сумма.
Распределительное свойство умножения относительно сложения формулируется так: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты. Формула свойства: (a + b) · c = a · c + b · c. Она позволяет заменить одно сложное действие несколькими более простыми.
Скобки показывают, что множитель c относится ко всей сумме, а не только к b или a. При раскрытии скобок c мысленно распределяется между всеми слагаемыми: a получает множитель c и b тоже получает множитель c. Поэтому справа появляются два произведения, соединённые знаком плюс.
Рассмотрим 3 · (4 + 2). Умножить сумму на 3 — значит взять сумму 4 + 2 три раза: (4 + 2) + (4 + 2) + (4 + 2). Такой смысл следует из определения умножения как сложения одинаковых слагаемых.
Теперь сгруппируем одинаковые числа: в этой записи три четвёрки и три двойки. Получаем 4 + 4 + 4 + 2 + 2 + 2, то есть 3 · 4 + 3 · 2. Группировка не меняет количества слагаемых, поэтому значение выражения сохраняется.
Одно и то же выражение можно вычислить двумя путями. Сначала в скобках: 4 + 2 = 6, затем 3 · 6 = 18; или отдельно: 3 · 4 + 3 · 2 = 12 + 6 = 18. Совпадение результатов показывает, почему распределительное свойство верно.
Свойство помогает выбрать удобный способ вычисления. Например, в выражении 7 · (20 + 3) числа в скобках удобно умножить отдельно: 7 · 20 + 7 · 3 = 140 + 21. Если сумма в скобках легко считается сразу, можно сначала выполнить сложение.
Правило действует и для суммы из трёх слагаемых: (a + b + d) · c = a · c + b · c + d · c. Общий множитель c умножается на каждое слагаемое, а затем все произведения складываются. Нельзя остановиться после первого или второго слагаемого, потому что тогда часть суммы останется без множителя.
| Что рассматриваем | Вычисление суммы, затем умножение | Умножение каждого слагаемого |
|---|---|---|
| Запись выражения | (a + b) · c | a · c + b · c |
| Порядок действий | Сначала сложить a и b, затем умножить результат на c | Умножить каждое слагаемое на c, затем сложить |
| Общее правило | Найти значение скобок и умножить | (a + b) · c = a · c + b · c |
| Пример вычисления | 3 · (4 + 2) = 3 · 6 = 18 | 3 · 4 + 3 · 2 = 12 + 6 = 18 |
| Когда способ удобен | Когда сумму в скобках легко найти | Когда отдельные произведения считаются быстрее |
Сначала определите слагаемые в скобках и общий множитель. Затем выберите один из двух способов: найти сумму целиком или распределить множитель между слагаемыми.
Таблица особенно полезна для проверки: оба столбца должны привести к одному результату. Если числа большие, выбирайте вариант, в котором появляются более простые вычисления.
Нужно сравнить вычисление всей суммы с раскрытием скобок. В обоих случаях выражение должно иметь одно и то же значение.
Ответ: 18.
Здесь выгодно не складывать 20 и 3 заранее, а применить множитель к каждому слагаемому. После этого останется сложить два удобных произведения.
Ответ: 161.
В скобках стоит разность, поэтому знак вычитания при раскрытии сохраняется. Число 50 удобно умножать на 8, а затем из результата вычесть 8 · 2.
Ответ: 384.
Ученик умножает общий множитель только на первое слагаемое: (a + b) · c превращается в a · c + b. Ошибка возникает из-за невнимательности к скобкам и количеству слагаемых. Проверьте себя: зачеркните каждое слагаемое после того, как умножили его на c.
Иногда скобки не ставят или читают выражение как a + b · c. Тогда сначала выполняется умножение b на c, а a остаётся без множителя. Сверяйте запись с условием: если нужно умножить сумму, вся сумма должна быть заключена в скобки.
При разности можно потерять знак вычитания: 8 · (50 − 2) ошибочно записывают как 8 · 50 + 8 · 2. Так происходит, когда правило для суммы переносят на разность без изменения знака. Проверьте, совпадает ли знак между произведениями со знаком внутри скобок.
Найти сумму в скобках до умножения само по себе не является ошибкой. Ошибка появляется, если складывают не те числа, применяют распределение только к части выражения или получают разные результаты без проверки. Выполните вычисление вторым способом и сравните ответы.
До этой темы нужно уметь находить сумму и произведение, соблюдать порядок действий и понимать умножение как сложение одинаковых слагаемых. Эти знания объясняют, почему сумма повторяется несколько раз.
Распределительное свойство пригодится для устных вычислений и упрощения выражений. Позже оно станет основой раскрытия скобок и преобразования буквенных выражений.
Тема связана с умножением разности на число. При таком преобразовании множитель также относится к каждому числу, но знак между произведениями остаётся знаком вычитания.
Почему число нужно умножать на каждое слагаемое?
Умножение суммы означает сложение нескольких одинаковых сумм. Поэтому каждый входящий в сумму слагаемый повторяется столько раз, сколько показывает множитель, и его можно заменить отдельным произведением.
Можно ли сначала вычислить сумму в скобках?
Да, это один из правильных способов. Сначала находят значение суммы, а затем умножают результат на число.
Как раскрыть скобки, если в них стоит разность?
Множитель умножают на уменьшаемое и на вычитаемое, сохраняя знак вычитания: (a − b) · c = a · c − b · c. Например, 8 · (50 − 2) = 8 · 50 − 8 · 2.
Можно ли применять правило, если в скобках больше двух слагаемых?
Да. Общий множитель умножают на каждое слагаемое, а затем складывают все полученные произведения: (a + b + d) · c = a · c + b · c + d · c.
Как проверить, что при раскрытии скобок не допущена ошибка?
Вычислите выражение вторым способом: сначала найдите сумму в скобках, а потом умножьте. Если оба результата совпали, раскрытие скобок выполнено верно.
Урок 6. Умножение суммы на число
